Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29513 / 19798
↖ ↑ ↗
← N 57.827205°
W 17.880249°		 ← 325.26 m → N 57.827205°
W 17.874756°		 →
↑
325.24 m
↓
↑
325.24 m
↓
N 57.824280°
W 17.880249°		 ← 325.29 m →
105 793 m²		 N 57.824280°
W 17.874756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450340270996094 y=0.302101135253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450340270996094 × 216)
    floor (0.450340270996094 × 65536)
    floor (29513.5)     		tx = 29513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302101135253906 × 216)
    floor (0.302101135253906 × 65536)
    floor (19798.5)     		ty = 19798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29513 / 19798 ti = "16/29513/19798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29513/19798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29513 ÷ 216
    29513 ÷ 65536     		x = 0.450332641601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19798 ÷ 216
    19798 ÷ 65536     		y = 0.302093505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450332641601562 × 2 - 1) × π
    -0.099334716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31206922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302093505859375 × 2 - 1) × π
    0.39581298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.24348317614426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31206922} λ = -0.31206922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24348317614426))-π/2
    2×atan(3.46767096214989)-π/2
    2×1.29003572954328-π/2
    2.58007145908656-1.57079632675     		φ = 1.00927513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31206922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.880249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00927513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.827205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29513 KachelY 19798 -0.31206922 1.00927513 -17.880249 57.827205
    Oben rechts KachelX + 1 29514 KachelY 19798 -0.31197334 1.00927513 -17.874756 57.827205
    Unten links KachelX 29513 KachelY + 1 19799 -0.31206922 1.00922408 -17.880249 57.824280
    Unten rechts KachelX + 1 29514 KachelY + 1 19799 -0.31197334 1.00922408 -17.874756 57.824280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00927513-1.00922408) × R
    5.10499999999414e-05 × 6371000     		dl = 325.239549999627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00927513-1.00922408) × R
    5.10499999999414e-05 × 6371000     		dr = 325.239549999627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31206922--0.31197334) × cos(1.00927513) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.532474424590291 × 6371000     		do = 325.262790323103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31206922--0.31197334) × cos(1.00922408) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.532517634969443 × 6371000     		du = 325.289185447159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00927513)-sin(1.00922408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532474424590291-0.532517634969443)×R²
    abs(-0.31197334--0.31206922)×4.32103791512262e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.32103791512262e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.32103791512262e-05×40589641000000     		ar = 105792.615948464m²