Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29512 / 42696
↖ ↑ ↗
← S 47.783634°
W 17.885742°		 ← 410.41 m → S 47.783634°
W 17.880249°		 →
↑
410.42 m
↓
↑
410.42 m
↓
S 47.787325°
W 17.885742°		 ← 410.38 m →
168 434 m²		 S 47.787325°
W 17.880249°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450325012207031 y=0.651496887207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450325012207031 × 216)
    floor (0.450325012207031 × 65536)
    floor (29512.5)     		tx = 29512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651496887207031 × 216)
    floor (0.651496887207031 × 65536)
    floor (42696.5)     		ty = 42696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29512 / 42696 ti = "16/29512/42696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29512/42696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29512 ÷ 216
    29512 ÷ 65536     		x = 0.4503173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42696 ÷ 216
    42696 ÷ 65536     		y = 0.6514892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4503173828125 × 2 - 1) × π
    -0.099365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31216509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6514892578125 × 2 - 1) × π
    -0.302978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.951835078855835
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31216509} λ = -0.31216509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.951835078855835))-π/2
    2×atan(0.386031973959522)-π/2
    2×0.368407286928912-π/2
    0.736814573857824-1.57079632675     		φ = -0.83398175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31216509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.885742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83398175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.783634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29512 KachelY 42696 -0.31216509 -0.83398175 -17.885742 -47.783634
    Oben rechts KachelX + 1 29513 KachelY 42696 -0.31206922 -0.83398175 -17.880249 -47.783634
    Unten links KachelX 29512 KachelY + 1 42697 -0.31216509 -0.83404617 -17.885742 -47.787325
    Unten rechts KachelX + 1 29513 KachelY + 1 42697 -0.31206922 -0.83404617 -17.880249 -47.787325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83398175--0.83404617) × R
    6.4420000000065e-05 × 6371000     		dl = 410.419820000414m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83398175--0.83404617) × R
    6.4420000000065e-05 × 6371000     		dr = 410.419820000414m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31216509--0.31206922) × cos(-0.83398175) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.671932159752895 × 6371000     		do = 410.407945446745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31216509--0.31206922) × cos(-0.83404617) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.6718844480885 × 6371000     		du = 410.378803745647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83398175)-sin(-0.83404617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671932159752895-0.6718844480885)×R²
    abs(-0.31206922--0.31216509)×4.77116643949893e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77116643949893e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77116643949893e-05×40589641000000     		ar = 168433.574989174m²