Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 29511 / 29544
↖ ↑ ↗
← S 80.830907°
E144.217530°		 ← 194.66 m → S 80.830907°
E144.228515°		 →
↑
194.63 m
↓
↑
194.63 m
↓
S 80.832657°
E144.217530°		 ← 194.62 m →
37 883 m²		 S 80.832657°
E144.228515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.900619506835938 y=0.901626586914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.900619506835938 × 215)
    floor (0.900619506835938 × 32768)
    floor (29511.5)     		tx = 29511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901626586914062 × 215)
    floor (0.901626586914062 × 32768)
    floor (29544.5)     		ty = 29544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29511 / 29544 ti = "15/29511/29544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29511/29544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29511 ÷ 215
    29511 ÷ 32768     		x = 0.900604248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29544 ÷ 215
    29544 ÷ 32768     		y = 0.901611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.900604248046875 × 2 - 1) × π
    0.80120849609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.51707073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901611328125 × 2 - 1) × π
    -0.80322265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.52339839599976
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.51707073} λ = 2.51707073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52339839599976))-π/2
    2×atan(0.0801866372357772)-π/2
    2×0.0800154333123203-π/2
    0.160030866624641-1.57079632675     		φ = -1.41076546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.51707073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 144.217530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41076546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.830907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29511 KachelY 29544 2.51707073 -1.41076546 144.217530 -80.830907
    Oben rechts KachelX + 1 29512 KachelY 29544 2.51726247 -1.41076546 144.228515 -80.830907
    Unten links KachelX 29511 KachelY + 1 29545 2.51707073 -1.41079601 144.217530 -80.832657
    Unten rechts KachelX + 1 29512 KachelY + 1 29545 2.51726247 -1.41079601 144.228515 -80.832657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41076546--1.41079601) × R
    3.05500000001846e-05 × 6371000     		dl = 194.634050001176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41076546--1.41079601) × R
    3.05500000001846e-05 × 6371000     		dr = 194.634050001176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.51707073-2.51726247) × cos(-1.41076546) × R
    0.000191739999999996 × 0.159348679080418 × 6371000     		do = 194.656448695944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.51707073-2.51726247) × cos(-1.41079601) × R
    0.000191739999999996 × 0.159318519362803 × 6371000     		du = 194.619606322612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41076546)-sin(-1.41079601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159348679080418-0.159318519362803)×R²
    abs(2.51726247-2.51707073)×3.01597176145252e-05×R²
    0.000191739999999996×3.01597176145252e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.01597176145252e-05×40589641000000     		ar = 37883.18758176m²