Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29506 / 40767
↖ ↑ ↗
← S 40.174676°
W 17.918701°		 ← 466.69 m → S 40.174676°
W 17.913208°		 →
↑
466.68 m
↓
↑
466.68 m
↓
S 40.178873°
W 17.918701°		 ← 466.66 m →
217 787 m²		 S 40.178873°
W 17.913208°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450233459472656 y=0.622062683105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450233459472656 × 216)
    floor (0.450233459472656 × 65536)
    floor (29506.5)     		tx = 29506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622062683105469 × 216)
    floor (0.622062683105469 × 65536)
    floor (40767.5)     		ty = 40767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29506 / 40767 ti = "16/29506/40767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29506/40767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29506 ÷ 216
    29506 ÷ 65536     		x = 0.450225830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40767 ÷ 216
    40767 ÷ 65536     		y = 0.622055053710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450225830078125 × 2 - 1) × π
    -0.09954833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31274033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622055053710938 × 2 - 1) × π
    -0.244110107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.766894520121658
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31274033} λ = -0.31274033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.766894520121658))-π/2
    2×atan(0.46445318104146)-π/2
    2×0.434807975420071-π/2
    0.869615950840142-1.57079632675     		φ = -0.70118038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31274033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.918701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70118038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.174676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29506 KachelY 40767 -0.31274033 -0.70118038 -17.918701 -40.174676
    Oben rechts KachelX + 1 29507 KachelY 40767 -0.31264446 -0.70118038 -17.913208 -40.174676
    Unten links KachelX 29506 KachelY + 1 40768 -0.31274033 -0.70125363 -17.918701 -40.178873
    Unten rechts KachelX + 1 29507 KachelY + 1 40768 -0.31264446 -0.70125363 -17.913208 -40.178873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70118038--0.70125363) × R
    7.32499999999137e-05 × 6371000     		dl = 466.67574999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70118038--0.70125363) × R
    7.32499999999137e-05 × 6371000     		dr = 466.67574999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31274033--0.31264446) × cos(-0.70118038) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.76408123296133 × 6371000     		do = 466.691472379291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31274033--0.31264446) × cos(-0.70125363) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.764033975868385 × 6371000     		du = 466.662608324874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70118038)-sin(-0.70125363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76408123296133-0.764033975868385)×R²
    abs(-0.31264446--0.31274033)×4.72570929450633e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72570929450633e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72570929450633e-05×40589641000000     		ar = 217786.857910867m²