Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29503 / 15427
↖ ↑ ↗
← N 68.522202°
W 17.935180°		 ← 223.63 m → N 68.522202°
W 17.929687°		 →
↑
223.62 m
↓
↑
223.62 m
↓
N 68.520191°
W 17.935180°		 ← 223.65 m →
50 012 m²		 N 68.520191°
W 17.929687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450187683105469 y=0.235404968261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450187683105469 × 216)
    floor (0.450187683105469 × 65536)
    floor (29503.5)     		tx = 29503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.235404968261719 × 216)
    floor (0.235404968261719 × 65536)
    floor (15427.5)     		ty = 15427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29503 / 15427 ti = "16/29503/15427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29503/15427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29503 ÷ 216
    29503 ÷ 65536     		x = 0.450180053710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15427 ÷ 216
    15427 ÷ 65536     		y = 0.235397338867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450180053710938 × 2 - 1) × π
    -0.099639892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31302795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.235397338867188 × 2 - 1) × π
    0.529205322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.66254755262279
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31302795} λ = -0.31302795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66254755262279))-π/2
    2×atan(5.27272629661235)-π/2
    2×1.38336718046028-π/2
    2.76673436092057-1.57079632675     		φ = 1.19593803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31302795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.935180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19593803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.522202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29503 KachelY 15427 -0.31302795 1.19593803 -17.935180 68.522202
    Oben rechts KachelX + 1 29504 KachelY 15427 -0.31293208 1.19593803 -17.929687 68.522202
    Unten links KachelX 29503 KachelY + 1 15428 -0.31302795 1.19590293 -17.935180 68.520191
    Unten rechts KachelX + 1 29504 KachelY + 1 15428 -0.31293208 1.19590293 -17.929687 68.520191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19593803-1.19590293) × R
    3.51000000000656e-05 × 6371000     		dl = 223.622100000418m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19593803-1.19590293) × R
    3.51000000000656e-05 × 6371000     		dr = 223.622100000418m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31302795--0.31293208) × cos(1.19593803) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.366140669496752 × 6371000     		do = 223.634243028223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31302795--0.31293208) × cos(1.19590293) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.366173331910161 × 6371000     		du = 223.654192830872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19593803)-sin(1.19590293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366140669496752-0.366173331910161)×R²
    abs(-0.31293208--0.31302795)×3.26624134099895e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.26624134099895e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.26624134099895e-05×40589641000000     		ar = 50011.7896717548m²