Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29503 / 15425
↖ ↑ ↗
← N 68.526224°
W 17.935180°		 ← 223.59 m → N 68.526224°
W 17.929687°		 →
↑
223.56 m
↓
↑
223.56 m
↓
N 68.524213°
W 17.935180°		 ← 223.61 m →
49 989 m²		 N 68.524213°
W 17.929687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450187683105469 y=0.235374450683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450187683105469 × 216)
    floor (0.450187683105469 × 65536)
    floor (29503.5)     		tx = 29503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.235374450683594 × 216)
    floor (0.235374450683594 × 65536)
    floor (15425.5)     		ty = 15425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29503 / 15425 ti = "16/29503/15425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29503/15425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29503 ÷ 216
    29503 ÷ 65536     		x = 0.450180053710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15425 ÷ 216
    15425 ÷ 65536     		y = 0.235366821289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450180053710938 × 2 - 1) × π
    -0.099639892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31302795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.235366821289062 × 2 - 1) × π
    0.529266357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.66273930022127
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31302795} λ = -0.31302795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66273930022127))-π/2
    2×atan(5.2737374261549)-π/2
    2×1.38340228062533-π/2
    2.76680456125066-1.57079632675     		φ = 1.19600823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31302795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.935180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19600823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.526224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29503 KachelY 15425 -0.31302795 1.19600823 -17.935180 68.526224
    Oben rechts KachelX + 1 29504 KachelY 15425 -0.31293208 1.19600823 -17.929687 68.526224
    Unten links KachelX 29503 KachelY + 1 15426 -0.31302795 1.19597314 -17.935180 68.524213
    Unten rechts KachelX + 1 29504 KachelY + 1 15426 -0.31293208 1.19597314 -17.929687 68.524213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19600823-1.19597314) × R
    3.50899999999044e-05 × 6371000     		dl = 223.558389999391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19600823-1.19597314) × R
    3.50899999999044e-05 × 6371000     		dr = 223.558389999391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31302795--0.31293208) × cos(1.19600823) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.366075343316705 × 6371000     		do = 223.59434259639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31302795--0.31293208) × cos(1.19597314) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.366107997326529 × 6371000     		du = 223.614287266232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19600823)-sin(1.19597314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366075343316705-0.366107997326529)×R²
    abs(-0.31293208--0.31302795)×3.26540098238293e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.26540098238293e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.26540098238293e-05×40589641000000     		ar = 49988.6206479012m²