Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29502 / 40769
↖ ↑ ↗
← S 40.183070°
W 17.940674°		 ← 466.68 m → S 40.183070°
W 17.935180°		 →
↑
466.61 m
↓
↑
466.61 m
↓
S 40.187267°
W 17.940674°		 ← 466.65 m →
217 753 m²		 S 40.187267°
W 17.935180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450172424316406 y=0.622093200683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450172424316406 × 216)
    floor (0.450172424316406 × 65536)
    floor (29502.5)     		tx = 29502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622093200683594 × 216)
    floor (0.622093200683594 × 65536)
    floor (40769.5)     		ty = 40769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29502 / 40769 ti = "16/29502/40769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29502/40769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29502 ÷ 216
    29502 ÷ 65536     		x = 0.450164794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40769 ÷ 216
    40769 ÷ 65536     		y = 0.622085571289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450164794921875 × 2 - 1) × π
    -0.09967041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31312383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622085571289062 × 2 - 1) × π
    -0.244171142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.767086267720139
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31312383} λ = -0.31312383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.767086267720139))-π/2
    2×atan(0.464364131797151)-π/2
    2×0.434734724580017-π/2
    0.869469449160033-1.57079632675     		φ = -0.70132688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31312383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.940674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70132688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.183070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29502 KachelY 40769 -0.31312383 -0.70132688 -17.940674 -40.183070
    Oben rechts KachelX + 1 29503 KachelY 40769 -0.31302795 -0.70132688 -17.935180 -40.183070
    Unten links KachelX 29502 KachelY + 1 40770 -0.31312383 -0.70140012 -17.940674 -40.187267
    Unten rechts KachelX + 1 29503 KachelY + 1 40770 -0.31302795 -0.70140012 -17.935180 -40.187267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70132688--0.70140012) × R
    7.32399999999744e-05 × 6371000     		dl = 466.612039999837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70132688--0.70140012) × R
    7.32399999999744e-05 × 6371000     		dr = 466.612039999837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31312383--0.31302795) × cos(-0.70132688) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.763986714675967 × 6371000     		do = 466.682415360117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31312383--0.31302795) × cos(-0.70140012) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.763939455837211 × 6371000     		du = 466.653547228519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70132688)-sin(-0.70140012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763986714675967-0.763939455837211)×R²
    abs(-0.31302795--0.31312383)×4.72588387562256e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.72588387562256e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.72588387562256e-05×40589641000000     		ar = 217752.898851927m²