Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29502 / 40759
↖ ↑ ↗
← S 40.141090°
W 17.940674°		 ← 466.97 m → S 40.141090°
W 17.935180°		 →
↑
466.93 m
↓
↑
466.93 m
↓
S 40.145289°
W 17.940674°		 ← 466.94 m →
218 036 m²		 S 40.145289°
W 17.935180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450172424316406 y=0.621940612792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450172424316406 × 216)
    floor (0.450172424316406 × 65536)
    floor (29502.5)     		tx = 29502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621940612792969 × 216)
    floor (0.621940612792969 × 65536)
    floor (40759.5)     		ty = 40759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29502 / 40759 ti = "16/29502/40759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29502/40759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29502 ÷ 216
    29502 ÷ 65536     		x = 0.450164794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40759 ÷ 216
    40759 ÷ 65536     		y = 0.621932983398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450164794921875 × 2 - 1) × π
    -0.09967041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31312383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621932983398438 × 2 - 1) × π
    -0.243865966796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.766127529727737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31312383} λ = -0.31312383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.766127529727737))-π/2
    2×atan(0.464809548817605)-π/2
    2×0.435101069392818-π/2
    0.870202138785636-1.57079632675     		φ = -0.70059419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31312383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.940674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70059419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.141090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29502 KachelY 40759 -0.31312383 -0.70059419 -17.940674 -40.141090
    Oben rechts KachelX + 1 29503 KachelY 40759 -0.31302795 -0.70059419 -17.935180 -40.141090
    Unten links KachelX 29502 KachelY + 1 40760 -0.31312383 -0.70066748 -17.940674 -40.145289
    Unten rechts KachelX + 1 29503 KachelY + 1 40760 -0.31302795 -0.70066748 -17.935180 -40.145289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70059419--0.70066748) × R
    7.32900000000036e-05 × 6371000     		dl = 466.930590000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70059419--0.70066748) × R
    7.32900000000036e-05 × 6371000     		dr = 466.930590000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31312383--0.31302795) × cos(-0.70059419) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.764459264581174 × 6371000     		do = 466.971073169086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31312383--0.31302795) × cos(-0.70066748) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.764412014514649 × 6371000     		du = 466.942210396019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70059419)-sin(-0.70066748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764459264581174-0.764412014514649)×R²
    abs(-0.31302795--0.31312383)×4.72500665250619e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.72500665250619e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.72500665250619e-05×40589641000000     		ar = 218036.340349395m²