Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29502 / 19422
↖ ↑ ↗
← N 77.486278°
W 98.970337°		 ← 66.18 m → N 77.486278°
W 98.967590°		 →
↑
66.13 m
↓
↑
66.13 m
↓
N 77.485683°
W 98.970337°		 ← 66.18 m →
4 376 m²		 N 77.485683°
W 98.967590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.225086212158203 y=0.148181915283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.225086212158203 × 217)
    floor (0.225086212158203 × 131072)
    floor (29502.5)     		tx = 29502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148181915283203 × 217)
    floor (0.148181915283203 × 131072)
    floor (19422.5)     		ty = 19422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29502 / 19422 ti = "17/29502/19422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29502/19422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29502 ÷ 217
    29502 ÷ 131072     		x = 0.225082397460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19422 ÷ 217
    19422 ÷ 131072     		y = 0.148178100585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.225082397460938 × 2 - 1) × π
    -0.549835205078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.72735824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148178100585938 × 2 - 1) × π
    0.703643798828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21056218907927
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72735824} λ = -1.72735824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21056218907927))-π/2
    2×atan(9.12084259005717)-π/2
    2×1.46159350470251-π/2
    2.92318700940503-1.57079632675     		φ = 1.35239068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72735824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.970337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35239068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.486278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29502 KachelY 19422 -1.72735824 1.35239068 -98.970337 77.486278
    Oben rechts KachelX + 1 29503 KachelY 19422 -1.72731030 1.35239068 -98.967590 77.486278
    Unten links KachelX 29502 KachelY + 1 19423 -1.72735824 1.35238030 -98.970337 77.485683
    Unten rechts KachelX + 1 29503 KachelY + 1 19423 -1.72731030 1.35238030 -98.967590 77.485683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35239068-1.35238030) × R
    1.03799999999765e-05 × 6371000     		dl = 66.1309799998504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35239068-1.35238030) × R
    1.03799999999765e-05 × 6371000     		dr = 66.1309799998504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72735824--1.72731030) × cos(1.35239068) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216673421148199 × 6371000     		do = 66.177639992477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72735824--1.72731030) × cos(1.35238030) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21668355455074 × 6371000     		du = 66.1807349944468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35239068)-sin(1.35238030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216673421148199-0.21668355455074)×R²
    abs(-1.72731030--1.72735824)×1.01334025411903e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01334025411903e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01334025411903e-05×40589641000000     		ar = 4376.49452450611m²