Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29501 / 40771
↖ ↑ ↗
← S 40.191463°
W 17.946167°		 ← 466.58 m → S 40.191463°
W 17.940674°		 →
↑
466.61 m
↓
↑
466.61 m
↓
S 40.195659°
W 17.946167°		 ← 466.55 m →
217 703 m²		 S 40.195659°
W 17.940674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450157165527344 y=0.622123718261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450157165527344 × 216)
    floor (0.450157165527344 × 65536)
    floor (29501.5)     		tx = 29501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622123718261719 × 216)
    floor (0.622123718261719 × 65536)
    floor (40771.5)     		ty = 40771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29501 / 40771 ti = "16/29501/40771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29501/40771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29501 ÷ 216
    29501 ÷ 65536     		x = 0.450149536132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40771 ÷ 216
    40771 ÷ 65536     		y = 0.622116088867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450149536132812 × 2 - 1) × π
    -0.099700927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31321970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622116088867188 × 2 - 1) × π
    -0.244232177734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.767278015318619
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31321970} λ = -0.31321970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.767278015318619))-π/2
    2×atan(0.464275099626184)-π/2
    2×0.434661482802119-π/2
    0.869322965604237-1.57079632675     		φ = -0.70147336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31321970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.946167°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70147336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.191463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29501 KachelY 40771 -0.31321970 -0.70147336 -17.946167 -40.191463
    Oben rechts KachelX + 1 29502 KachelY 40771 -0.31312383 -0.70147336 -17.940674 -40.191463
    Unten links KachelX 29501 KachelY + 1 40772 -0.31321970 -0.70154660 -17.946167 -40.195659
    Unten rechts KachelX + 1 29502 KachelY + 1 40772 -0.31312383 -0.70154660 -17.940674 -40.195659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70147336--0.70154660) × R
    7.32399999999744e-05 × 6371000     		dl = 466.612039999837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70147336--0.70154660) × R
    7.32399999999744e-05 × 6371000     		dr = 466.612039999837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31321970--0.31312383) × cos(-0.70147336) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.763892192900609 × 6371000     		do = 466.576009022163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31321970--0.31312383) × cos(-0.70154660) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.763844925866415 × 6371000     		du = 466.547138895752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70147336)-sin(-0.70154660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763892192900609-0.763844925866415)×R²
    abs(-0.31312383--0.31321970)×4.72670341943315e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72670341943315e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72670341943315e-05×40589641000000     		ar = 217703.247907867m²