Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29501 / 40758
↖ ↑ ↗
← S 40.136890°
W 17.946167°		 ← 466.95 m → S 40.136890°
W 17.940674°		 →
↑
466.99 m
↓
↑
466.99 m
↓
S 40.141090°
W 17.946167°		 ← 466.92 m →
218 057 m²		 S 40.141090°
W 17.940674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450157165527344 y=0.621925354003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450157165527344 × 216)
    floor (0.450157165527344 × 65536)
    floor (29501.5)     		tx = 29501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621925354003906 × 216)
    floor (0.621925354003906 × 65536)
    floor (40758.5)     		ty = 40758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29501 / 40758 ti = "16/29501/40758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29501/40758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29501 ÷ 216
    29501 ÷ 65536     		x = 0.450149536132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40758 ÷ 216
    40758 ÷ 65536     		y = 0.621917724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450149536132812 × 2 - 1) × π
    -0.099700927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31321970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621917724609375 × 2 - 1) × π
    -0.24383544921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.766031655928497
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31321970} λ = -0.31321970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.766031655928497))-π/2
    2×atan(0.464854114011256)-π/2
    2×0.435137716332386-π/2
    0.870275432664773-1.57079632675     		φ = -0.70052089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31321970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.946167°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70052089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.136890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29501 KachelY 40758 -0.31321970 -0.70052089 -17.946167 -40.136890
    Oben rechts KachelX + 1 29502 KachelY 40758 -0.31312383 -0.70052089 -17.940674 -40.136890
    Unten links KachelX 29501 KachelY + 1 40759 -0.31321970 -0.70059419 -17.946167 -40.141090
    Unten rechts KachelX + 1 29502 KachelY + 1 40759 -0.31312383 -0.70059419 -17.940674 -40.141090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70052089--0.70059419) × R
    7.33000000000539e-05 × 6371000     		dl = 466.994300000343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70052089--0.70059419) × R
    7.33000000000539e-05 × 6371000     		dr = 466.994300000343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31321970--0.31312383) × cos(-0.70052089) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.764506516987625 × 6371000     		do = 466.951230661328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31321970--0.31312383) × cos(-0.70059419) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.764459264581174 × 6371000     		du = 466.922369469365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70052089)-sin(-0.70059419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764506516987625-0.764459264581174)×R²
    abs(-0.31312383--0.31321970)×4.72524064503155e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72524064503155e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72524064503155e-05×40589641000000     		ar = 218056.82418877m²