Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 295 / 221
↖ ↑ ↗
← N 80.268259°
W128.144531°		 ← 3 303.96 m → N 80.268259°
W127.968750°		 →
↑
3 308.97 m
↓
↑
3 308.97 m
↓
N 80.238500°
W128.144531°		 ← 3 313.97 m →
10 949 264 m²		 N 80.238500°
W127.968750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144287109375 y=0.108154296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144287109375 × 211)
    floor (0.144287109375 × 2048)
    floor (295.5)     		tx = 295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108154296875 × 211)
    floor (0.108154296875 × 2048)
    floor (221.5)     		ty = 221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 295 / 221 ti = "11/295/221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/295/221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 295 ÷ 211
    295 ÷ 2048     		x = 0.14404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 221 ÷ 211
    221 ÷ 2048     		y = 0.10791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14404296875 × 2 - 1) × π
    -0.7119140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.23654399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10791015625 × 2 - 1) × π
    0.7841796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46357314527393
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23654399} λ = -2.23654399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46357314527393))-π/2
    2×atan(11.7467093409048)-π/2
    2×1.48587086359746-π/2
    2.97174172719493-1.57079632675     		φ = 1.40094540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23654399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.144531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40094540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.268259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 295 KachelY 221 -2.23654399 1.40094540 -128.144531 80.268259
    Oben rechts KachelX + 1 296 KachelY 221 -2.23347603 1.40094540 -127.968750 80.268259
    Unten links KachelX 295 KachelY + 1 222 -2.23654399 1.40042602 -128.144531 80.238500
    Unten rechts KachelX + 1 296 KachelY + 1 222 -2.23347603 1.40042602 -127.968750 80.238500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40094540-1.40042602) × R
    0.000519379999999847 × 6371000     		dl = 3308.96997999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40094540-1.40042602) × R
    0.000519379999999847 × 6371000     		dr = 3308.96997999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23654399--2.23347603) × cos(1.40094540) × R
    0.00306796000000009 × 0.169035422907582 × 6371000     		do = 3303.96183924094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23654399--2.23347603) × cos(1.40042602) × R
    0.00306796000000009 × 0.169547306195044 × 6371000     		du = 3313.96709623873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40094540)-sin(1.40042602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169035422907582-0.169547306195044)×R²
    abs(-2.23347603--2.23654399)×0.000511883287462239×R²
    0.00306796000000009×0.000511883287462239×6371000²
    0.00306796000000009×0.000511883287462239×40589641000000     		ar = 10949264.3347682m²