Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29498 / 13497
↖ ↑ ↗
← N 72.085743°
W 17.962646°		 ← 187.87 m → N 72.085743°
W 17.957153°		 →
↑
187.88 m
↓
↑
187.88 m
↓
N 72.084053°
W 17.962646°		 ← 187.89 m →
35 300 m²		 N 72.084053°
W 17.957153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450111389160156 y=0.205955505371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450111389160156 × 216)
    floor (0.450111389160156 × 65536)
    floor (29498.5)     		tx = 29498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205955505371094 × 216)
    floor (0.205955505371094 × 65536)
    floor (13497.5)     		ty = 13497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29498 / 13497 ti = "16/29498/13497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29498/13497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29498 ÷ 216
    29498 ÷ 65536     		x = 0.450103759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13497 ÷ 216
    13497 ÷ 65536     		y = 0.205947875976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450103759765625 × 2 - 1) × π
    -0.09979248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31350732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205947875976562 × 2 - 1) × π
    0.588104248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.8475839851562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31350732} λ = -0.31350732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8475839851562))-π/2
    2×atan(6.3444726508315)-π/2
    2×1.41446494199784-π/2
    2.82892988399567-1.57079632675     		φ = 1.25813356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31350732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.962646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25813356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.085743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29498 KachelY 13497 -0.31350732 1.25813356 -17.962646 72.085743
    Oben rechts KachelX + 1 29499 KachelY 13497 -0.31341145 1.25813356 -17.957153 72.085743
    Unten links KachelX 29498 KachelY + 1 13498 -0.31350732 1.25810407 -17.962646 72.084053
    Unten rechts KachelX + 1 29499 KachelY + 1 13498 -0.31341145 1.25810407 -17.957153 72.084053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25813356-1.25810407) × R
    2.94900000001874e-05 × 6371000     		dl = 187.880790001194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25813356-1.25810407) × R
    2.94900000001874e-05 × 6371000     		dr = 187.880790001194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31350732--0.31341145) × cos(1.25813356) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.307593394172238 × 6371000     		do = 187.874283293188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31350732--0.31341145) × cos(1.25810407) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.307621454301197 × 6371000     		du = 187.891422076781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25813356)-sin(1.25810407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307593394172238-0.307621454301197)×R²
    abs(-0.31341145--0.31350732)×2.806012895884e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.806012895884e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.806012895884e-05×40589641000000     		ar = 35299.5787923536m²