Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29497 / 13499
↖ ↑ ↗
← N 72.082363°
W 17.968140°		 ← 187.93 m → N 72.082363°
W 17.962646°		 →
↑
187.94 m
↓
↑
187.94 m
↓
N 72.080673°
W 17.968140°		 ← 187.95 m →
35 322 m²		 N 72.080673°
W 17.962646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450096130371094 y=0.205986022949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450096130371094 × 216)
    floor (0.450096130371094 × 65536)
    floor (29497.5)     		tx = 29497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205986022949219 × 216)
    floor (0.205986022949219 × 65536)
    floor (13499.5)     		ty = 13499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29497 / 13499 ti = "16/29497/13499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29497/13499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29497 ÷ 216
    29497 ÷ 65536     		x = 0.450088500976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13499 ÷ 216
    13499 ÷ 65536     		y = 0.205978393554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450088500976562 × 2 - 1) × π
    -0.099822998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31360320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205978393554688 × 2 - 1) × π
    0.588043212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84739223755772
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31360320} λ = -0.31360320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84739223755772))-π/2
    2×atan(6.34325623006369)-π/2
    2×1.41443544915986-π/2
    2.82887089831971-1.57079632675     		φ = 1.25807457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31360320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.968140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25807457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.082363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29497 KachelY 13499 -0.31360320 1.25807457 -17.968140 72.082363
    Oben rechts KachelX + 1 29498 KachelY 13499 -0.31350732 1.25807457 -17.962646 72.082363
    Unten links KachelX 29497 KachelY + 1 13500 -0.31360320 1.25804507 -17.968140 72.080673
    Unten rechts KachelX + 1 29498 KachelY + 1 13500 -0.31350732 1.25804507 -17.962646 72.080673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25807457-1.25804507) × R
    2.94999999999046e-05 × 6371000     		dl = 187.944499999392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25807457-1.25804507) × R
    2.94999999999046e-05 × 6371000     		dr = 187.944499999392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31360320--0.31350732) × cos(1.25807457) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.307649523677627 × 6371000     		do = 187.928166859868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31360320--0.31350732) × cos(1.25804507) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.307677592786325 × 6371000     		du = 187.945312916458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25807457)-sin(1.25804507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307649523677627-0.307677592786325)×R²
    abs(-0.31350732--0.31360320)×2.8069108697959e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.8069108697959e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.8069108697959e-05×40589641000000     		ar = 35321.6766123601m²