Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29496 / 15512
↖ ↑ ↗
← N 68.350595°
W 17.973633°		 ← 225.34 m → N 68.350595°
W 17.968140°		 →
↑
225.41 m
↓
↑
225.41 m
↓
N 68.348567°
W 17.973633°		 ← 225.36 m →
50 794 m²		 N 68.348567°
W 17.968140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450080871582031 y=0.236701965332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450080871582031 × 216)
    floor (0.450080871582031 × 65536)
    floor (29496.5)     		tx = 29496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236701965332031 × 216)
    floor (0.236701965332031 × 65536)
    floor (15512.5)     		ty = 15512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29496 / 15512 ti = "16/29496/15512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29496/15512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29496 ÷ 216
    29496 ÷ 65536     		x = 0.4500732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15512 ÷ 216
    15512 ÷ 65536     		y = 0.2366943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4500732421875 × 2 - 1) × π
    -0.099853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31369907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2366943359375 × 2 - 1) × π
    0.526611328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.65439827968738
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31369907} λ = -0.31369907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65439827968738))-π/2
    2×atan(5.22993201886498)-π/2
    2×1.38186962147273-π/2
    2.76373924294547-1.57079632675     		φ = 1.19294292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31369907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.973633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19294292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.350595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29496 KachelY 15512 -0.31369907 1.19294292 -17.973633 68.350595
    Oben rechts KachelX + 1 29497 KachelY 15512 -0.31360320 1.19294292 -17.968140 68.350595
    Unten links KachelX 29496 KachelY + 1 15513 -0.31369907 1.19290754 -17.973633 68.348567
    Unten rechts KachelX + 1 29497 KachelY + 1 15513 -0.31360320 1.19290754 -17.968140 68.348567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19294292-1.19290754) × R
    3.53799999999183e-05 × 6371000     		dl = 225.405979999479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19294292-1.19290754) × R
    3.53799999999183e-05 × 6371000     		dr = 225.405979999479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31369907--0.31360320) × cos(1.19294292) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368926151172458 × 6371000     		do = 225.335581169303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31369907--0.31360320) × cos(1.19290754) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368959035190736 × 6371000     		du = 225.355666325496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19294292)-sin(1.19290754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368926151172458-0.368959035190736)×R²
    abs(-0.31360320--0.31369907)×3.28840182786116e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.28840182786116e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.28840182786116e-05×40589641000000     		ar = 50794.2511649832m²