Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29495 / 40717
↖ ↑ ↗
← S 39.964491°
W 17.979126°		 ← 468.13 m → S 39.964491°
W 17.973633°		 →
↑
468.14 m
↓
↑
468.14 m
↓
S 39.968701°
W 17.979126°		 ← 468.10 m →
219 146 m²		 S 39.968701°
W 17.973633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450065612792969 y=0.621299743652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450065612792969 × 216)
    floor (0.450065612792969 × 65536)
    floor (29495.5)     		tx = 29495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621299743652344 × 216)
    floor (0.621299743652344 × 65536)
    floor (40717.5)     		ty = 40717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29495 / 40717 ti = "16/29495/40717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29495/40717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29495 ÷ 216
    29495 ÷ 65536     		x = 0.450057983398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40717 ÷ 216
    40717 ÷ 65536     		y = 0.621292114257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450057983398438 × 2 - 1) × π
    -0.099884033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31379494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621292114257812 × 2 - 1) × π
    -0.242584228515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.762100830159653
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31379494} λ = -0.31379494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.762100830159653))-π/2
    2×atan(0.466684970573002)-π/2
    2×0.436642190288132-π/2
    0.873284380576264-1.57079632675     		φ = -0.69751195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31379494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.979126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69751195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.964491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29495 KachelY 40717 -0.31379494 -0.69751195 -17.979126 -39.964491
    Oben rechts KachelX + 1 29496 KachelY 40717 -0.31369907 -0.69751195 -17.973633 -39.964491
    Unten links KachelX 29495 KachelY + 1 40718 -0.31379494 -0.69758543 -17.979126 -39.968701
    Unten rechts KachelX + 1 29496 KachelY + 1 40718 -0.31369907 -0.69758543 -17.973633 -39.968701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69751195--0.69758543) × R
    7.34799999999591e-05 × 6371000     		dl = 468.14107999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69751195--0.69758543) × R
    7.34799999999591e-05 × 6371000     		dr = 468.14107999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31379494--0.31369907) × cos(-0.69751195) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.766442664111949 × 6371000     		do = 468.133805645786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31379494--0.31369907) × cos(-0.69758543) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.766395464903488 × 6371000     		du = 468.104976946504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69751195)-sin(-0.69758543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766442664111949-0.766395464903488)×R²
    abs(-0.31369907--0.31379494)×4.71992084607464e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71992084607464e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71992084607464e-05×40589641000000     		ar = 219145.917509047m²