Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29495 / 29494
↖ ↑ ↗
← S 80.742958°
E144.041748°		 ← 196.52 m → S 80.742958°
E144.052734°		 →
↑
196.48 m
↓
↑
196.48 m
↓
S 80.744725°
E144.041748°		 ← 196.48 m →
38 608 m²		 S 80.744725°
E144.052734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.900131225585938 y=0.900100708007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.900131225585938 × 215)
    floor (0.900131225585938 × 32768)
    floor (29495.5)     		tx = 29495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900100708007812 × 215)
    floor (0.900100708007812 × 32768)
    floor (29494.5)     		ty = 29494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29495 / 29494 ti = "15/29495/29494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29495/29494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29495 ÷ 215
    29495 ÷ 32768     		x = 0.900115966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29494 ÷ 215
    29494 ÷ 32768     		y = 0.90008544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.900115966796875 × 2 - 1) × π
    0.80023193359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.51400276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90008544921875 × 2 - 1) × π
    -0.8001708984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.51381101607574
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.51400276} λ = 2.51400276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51381101607574))-π/2
    2×atan(0.0809591140892986)-π/2
    2×0.0807829275649587-π/2
    0.161565855129917-1.57079632675     		φ = -1.40923047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.51400276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 144.041748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40923047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.742958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29495 KachelY 29494 2.51400276 -1.40923047 144.041748 -80.742958
    Oben rechts KachelX + 1 29496 KachelY 29494 2.51419451 -1.40923047 144.052734 -80.742958
    Unten links KachelX 29495 KachelY + 1 29495 2.51400276 -1.40926131 144.041748 -80.744725
    Unten rechts KachelX + 1 29496 KachelY + 1 29495 2.51419451 -1.40926131 144.052734 -80.744725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40923047--1.40926131) × R
    3.08399999999764e-05 × 6371000     		dl = 196.48163999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40923047--1.40926131) × R
    3.08399999999764e-05 × 6371000     		dr = 196.48163999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.51400276-2.51419451) × cos(-1.40923047) × R
    0.000191749999999935 × 0.160863867215598 × 6371000     		do = 196.517614097296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.51400276-2.51419451) × cos(-1.40926131) × R
    0.000191749999999935 × 0.160833428780646 × 6371000     		du = 196.48042931045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40923047)-sin(-1.40926131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160863867215598-0.160833428780646)×R²
    abs(2.51419451-2.51400276)×3.04384349520959e-05×R²
    0.000191749999999935×3.04384349520959e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.04384349520959e-05×40589641000000     		ar = 38608.4500461959m²