Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29494 / 42702
↖ ↑ ↗
← S 47.805776°
W 17.984619°		 ← 410.28 m → S 47.805776°
W 17.979126°		 →
↑
410.29 m
↓
↑
410.29 m
↓
S 47.809466°
W 17.984619°		 ← 410.25 m →
168 327 m²		 S 47.809466°
W 17.979126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450050354003906 y=0.651588439941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450050354003906 × 216)
    floor (0.450050354003906 × 65536)
    floor (29494.5)     		tx = 29494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651588439941406 × 216)
    floor (0.651588439941406 × 65536)
    floor (42702.5)     		ty = 42702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29494 / 42702 ti = "16/29494/42702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29494/42702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29494 ÷ 216
    29494 ÷ 65536     		x = 0.450042724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42702 ÷ 216
    42702 ÷ 65536     		y = 0.651580810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450042724609375 × 2 - 1) × π
    -0.09991455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31389082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651580810546875 × 2 - 1) × π
    -0.30316162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.952410321651276
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31389082} λ = -0.31389082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.952410321651276))-π/2
    2×atan(0.385809975705262)-π/2
    2×0.368214066029465-π/2
    0.736428132058929-1.57079632675     		φ = -0.83436819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31389082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.984619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83436819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.805776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29494 KachelY 42702 -0.31389082 -0.83436819 -17.984619 -47.805776
    Oben rechts KachelX + 1 29495 KachelY 42702 -0.31379494 -0.83436819 -17.979126 -47.805776
    Unten links KachelX 29494 KachelY + 1 42703 -0.31389082 -0.83443259 -17.984619 -47.809466
    Unten rechts KachelX + 1 29495 KachelY + 1 42703 -0.31379494 -0.83443259 -17.979126 -47.809466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83436819--0.83443259) × R
    6.44000000000755e-05 × 6371000     		dl = 410.292400000481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83436819--0.83443259) × R
    6.44000000000755e-05 × 6371000     		dr = 410.292400000481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31389082--0.31379494) × cos(-0.83436819) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.671645907216107 × 6371000     		do = 410.27589645887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31389082--0.31379494) × cos(-0.83443259) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.671598193646788 × 6371000     		du = 410.246750554436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83436819)-sin(-0.83443259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671645907216107-0.671598193646788)×R²
    abs(-0.31379494--0.31389082)×4.77135693183195e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77135693183195e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77135693183195e-05×40589641000000     		ar = 168327.103106996m²