Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29494 / 22670
↖ ↑ ↗
← N 48.407326°
W 17.984619°		 ← 405.50 m → N 48.407326°
W 17.979126°		 →
↑
405.45 m
↓
↑
405.45 m
↓
N 48.403680°
W 17.984619°		 ← 405.53 m →
164 417 m²		 N 48.403680°
W 17.979126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450050354003906 y=0.345924377441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450050354003906 × 216)
    floor (0.450050354003906 × 65536)
    floor (29494.5)     		tx = 29494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345924377441406 × 216)
    floor (0.345924377441406 × 65536)
    floor (22670.5)     		ty = 22670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29494 / 22670 ti = "16/29494/22670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29494/22670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29494 ÷ 216
    29494 ÷ 65536     		x = 0.450042724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22670 ÷ 216
    22670 ÷ 65536     		y = 0.345916748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450042724609375 × 2 - 1) × π
    -0.09991455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31389082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345916748046875 × 2 - 1) × π
    0.30816650390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.968133624726654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31389082} λ = -0.31389082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.968133624726654))-π/2
    2×atan(2.63302565663647)-π/2
    2×1.20783177447717-π/2
    2.41566354895433-1.57079632675     		φ = 0.84486722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31389082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.984619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84486722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.407326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29494 KachelY 22670 -0.31389082 0.84486722 -17.984619 48.407326
    Oben rechts KachelX + 1 29495 KachelY 22670 -0.31379494 0.84486722 -17.979126 48.407326
    Unten links KachelX 29494 KachelY + 1 22671 -0.31389082 0.84480358 -17.984619 48.403680
    Unten rechts KachelX + 1 29495 KachelY + 1 22671 -0.31379494 0.84480358 -17.979126 48.403680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84486722-0.84480358) × R
    6.36400000000314e-05 × 6371000     		dl = 405.4504400002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84486722-0.84480358) × R
    6.36400000000314e-05 × 6371000     		dr = 405.4504400002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31389082--0.31379494) × cos(0.84486722) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.663830592239908 × 6371000     		do = 405.501899738993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31389082--0.31379494) × cos(0.84480358) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.663878186168153 × 6371000     		du = 405.530972560501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84486722)-sin(0.84480358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663830592239908-0.663878186168153)×R²
    abs(-0.31379494--0.31389082)×4.75939282452709e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.75939282452709e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.75939282452709e-05×40589641000000     		ar = 164416.817519886m²