Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29493 / 42698
↖ ↑ ↗
← S 47.791016°
W 17.990112°		 ← 410.35 m → S 47.791016°
W 17.984619°		 →
↑
410.29 m
↓
↑
410.29 m
↓
S 47.794706°
W 17.990112°		 ← 410.32 m →
168 357 m²		 S 47.794706°
W 17.984619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450035095214844 y=0.651527404785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450035095214844 × 216)
    floor (0.450035095214844 × 65536)
    floor (29493.5)     		tx = 29493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651527404785156 × 216)
    floor (0.651527404785156 × 65536)
    floor (42698.5)     		ty = 42698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29493 / 42698 ti = "16/29493/42698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29493/42698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29493 ÷ 216
    29493 ÷ 65536     		x = 0.450027465820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42698 ÷ 216
    42698 ÷ 65536     		y = 0.651519775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450027465820312 × 2 - 1) × π
    -0.099945068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31398669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651519775390625 × 2 - 1) × π
    -0.30303955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.952026826454315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31398669} λ = -0.31398669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.952026826454315))-π/2
    2×atan(0.385957960351771)-π/2
    2×0.368342870814309-π/2
    0.736685741628618-1.57079632675     		φ = -0.83411059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31398669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.990112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83411059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.791016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29493 KachelY 42698 -0.31398669 -0.83411059 -17.990112 -47.791016
    Oben rechts KachelX + 1 29494 KachelY 42698 -0.31389082 -0.83411059 -17.984619 -47.791016
    Unten links KachelX 29493 KachelY + 1 42699 -0.31398669 -0.83417499 -17.990112 -47.794706
    Unten rechts KachelX + 1 29494 KachelY + 1 42699 -0.31389082 -0.83417499 -17.984619 -47.794706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83411059--0.83417499) × R
    6.43999999999645e-05 × 6371000     		dl = 410.292399999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83411059--0.83417499) × R
    6.43999999999645e-05 × 6371000     		dr = 410.292399999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31398669--0.31389082) × cos(-0.83411059) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.671836733635827 × 6371000     		do = 410.349660341502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31398669--0.31389082) × cos(-0.83417499) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.671789031209926 × 6371000     		du = 410.320524283162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83411059)-sin(-0.83417499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671836733635827-0.671789031209926)×R²
    abs(-0.31389082--0.31398669)×4.77024259015746e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77024259015746e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77024259015746e-05×40589641000000     		ar = 168357.369887295m²