Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29493 / 13500
↖ ↑ ↗
← N 72.080673°
W 17.990112°		 ← 187.93 m → N 72.080673°
W 17.984619°		 →
↑
187.88 m
↓
↑
187.88 m
↓
N 72.078983°
W 17.990112°		 ← 187.94 m →
35 309 m²		 N 72.078983°
W 17.984619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450035095214844 y=0.206001281738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450035095214844 × 216)
    floor (0.450035095214844 × 65536)
    floor (29493.5)     		tx = 29493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206001281738281 × 216)
    floor (0.206001281738281 × 65536)
    floor (13500.5)     		ty = 13500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29493 / 13500 ti = "16/29493/13500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29493/13500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29493 ÷ 216
    29493 ÷ 65536     		x = 0.450027465820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13500 ÷ 216
    13500 ÷ 65536     		y = 0.20599365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450027465820312 × 2 - 1) × π
    -0.099945068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31398669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20599365234375 × 2 - 1) × π
    0.5880126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.84729636375848
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31398669} λ = -0.31398669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84729636375848))-π/2
    2×atan(6.34264810714135)-π/2
    2×1.4144207007229-π/2
    2.8288414014458-1.57079632675     		φ = 1.25804507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31398669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.990112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25804507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.080673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29493 KachelY 13500 -0.31398669 1.25804507 -17.990112 72.080673
    Oben rechts KachelX + 1 29494 KachelY 13500 -0.31389082 1.25804507 -17.984619 72.080673
    Unten links KachelX 29493 KachelY + 1 13501 -0.31398669 1.25801558 -17.990112 72.078983
    Unten rechts KachelX + 1 29494 KachelY + 1 13501 -0.31389082 1.25801558 -17.984619 72.078983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25804507-1.25801558) × R
    2.94900000001874e-05 × 6371000     		dl = 187.880790001194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25804507-1.25801558) × R
    2.94900000001874e-05 × 6371000     		dr = 187.880790001194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31398669--0.31389082) × cos(1.25804507) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.307677592786325 × 6371000     		do = 187.925710776923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31398669--0.31389082) × cos(1.25801558) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.307705652112451 × 6371000     		du = 187.942849070156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25804507)-sin(1.25801558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307677592786325-0.307705652112451)×R²
    abs(-0.31389082--0.31398669)×2.80593261258733e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.80593261258733e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.80593261258733e-05×40589641000000     		ar = 35309.2409828146m²