Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29491 / 23035
↖ ↑ ↗
← N 47.058896°
W 18.001099°		 ← 416.10 m → N 47.058896°
W 17.995606°		 →
↑
416.09 m
↓
↑
416.09 m
↓
N 47.055154°
W 18.001099°		 ← 416.13 m →
173 140 m²		 N 47.055154°
W 17.995606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450004577636719 y=0.351493835449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450004577636719 × 216)
    floor (0.450004577636719 × 65536)
    floor (29491.5)     		tx = 29491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351493835449219 × 216)
    floor (0.351493835449219 × 65536)
    floor (23035.5)     		ty = 23035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29491 / 23035 ti = "16/29491/23035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29491/23035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29491 ÷ 216
    29491 ÷ 65536     		x = 0.449996948242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23035 ÷ 216
    23035 ÷ 65536     		y = 0.351486206054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449996948242188 × 2 - 1) × π
    -0.100006103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31417844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351486206054688 × 2 - 1) × π
    0.297027587890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.933139688004013
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31417844} λ = -0.31417844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.933139688004013))-π/2
    2×atan(2.54247925090345)-π/2
    2×1.19606450577844-π/2
    2.39212901155688-1.57079632675     		φ = 0.82133268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31417844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.001099°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82133268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.058896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29491 KachelY 23035 -0.31417844 0.82133268 -18.001099 47.058896
    Oben rechts KachelX + 1 29492 KachelY 23035 -0.31408257 0.82133268 -17.995606 47.058896
    Unten links KachelX 29491 KachelY + 1 23036 -0.31417844 0.82126737 -18.001099 47.055154
    Unten rechts KachelX + 1 29492 KachelY + 1 23036 -0.31408257 0.82126737 -17.995606 47.055154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82133268-0.82126737) × R
    6.53099999999851e-05 × 6371000     		dl = 416.090009999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82133268-0.82126737) × R
    6.53099999999851e-05 × 6371000     		dr = 416.090009999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31417844--0.31408257) × cos(0.82133268) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.68124621832706 × 6371000     		do = 416.096858512909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31417844--0.31408257) × cos(0.82126737) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.681294027344564 × 6371000     		du = 416.126059676096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82133268)-sin(0.82126737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68124621832706-0.681294027344564)×R²
    abs(-0.31408257--0.31417844)×4.78090175044521e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78090175044521e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78090175044521e-05×40589641000000     		ar = 173139.821237226m²