Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29490 / 42704
↖ ↑ ↗
← S 47.813154°
W 18.006592°		 ← 410.17 m → S 47.813154°
W 18.001099°		 →
↑
410.16 m
↓
↑
410.16 m
↓
S 47.816843°
W 18.006592°		 ← 410.15 m →
168 233 m²		 S 47.816843°
W 18.001099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449989318847656 y=0.651618957519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449989318847656 × 216)
    floor (0.449989318847656 × 65536)
    floor (29490.5)     		tx = 29490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651618957519531 × 216)
    floor (0.651618957519531 × 65536)
    floor (42704.5)     		ty = 42704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29490 / 42704 ti = "16/29490/42704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29490/42704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29490 ÷ 216
    29490 ÷ 65536     		x = 0.449981689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42704 ÷ 216
    42704 ÷ 65536     		y = 0.651611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449981689453125 × 2 - 1) × π
    -0.10003662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31427431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651611328125 × 2 - 1) × π
    -0.30322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.952602069249756
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31427431} λ = -0.31427431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.952602069249756))-π/2
    2×atan(0.385736004661062)-π/2
    2×0.368149677358761-π/2
    0.736299354717523-1.57079632675     		φ = -0.83449697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31427431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.006592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83449697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.813154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29490 KachelY 42704 -0.31427431 -0.83449697 -18.006592 -47.813154
    Oben rechts KachelX + 1 29491 KachelY 42704 -0.31417844 -0.83449697 -18.001099 -47.813154
    Unten links KachelX 29490 KachelY + 1 42705 -0.31427431 -0.83456135 -18.006592 -47.816843
    Unten rechts KachelX + 1 29491 KachelY + 1 42705 -0.31417844 -0.83456135 -18.001099 -47.816843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83449697--0.83456135) × R
    6.4379999999975e-05 × 6371000     		dl = 410.164979999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83449697--0.83456135) × R
    6.4379999999975e-05 × 6371000     		dr = 410.164979999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31427431--0.31417844) × cos(-0.83449697) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.671550492111287 × 6371000     		do = 410.174827519046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31427431--0.31417844) × cos(-0.83456135) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.671502787792353 × 6371000     		du = 410.145690304466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83449697)-sin(-0.83456135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671550492111287-0.671502787792353)×R²
    abs(-0.31417844--0.31427431)×4.770431893375e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.770431893375e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.770431893375e-05×40589641000000     		ar = 168233.374451329m²