Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2949 / 1158
↖ ↑ ↗
← N 82.291228°
W115.202637°		 ← 327.74 m → N 82.291228°
W115.180664°		 →
↑
327.79 m
↓
↑
327.79 m
↓
N 82.288280°
W115.202637°		 ← 327.86 m →
107 448 m²		 N 82.288280°
W115.180664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.180023193359375 y=0.070709228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.180023193359375 × 214)
    floor (0.180023193359375 × 16384)
    floor (2949.5)     		tx = 2949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.070709228515625 × 214)
    floor (0.070709228515625 × 16384)
    floor (1158.5)     		ty = 1158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2949 / 1158 ti = "14/2949/1158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2949/1158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2949 ÷ 214
    2949 ÷ 16384     		x = 0.17999267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1158 ÷ 214
    1158 ÷ 16384     		y = 0.0706787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.17999267578125 × 2 - 1) × π
    -0.6400146484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.01066532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0706787109375 × 2 - 1) × π
    0.858642578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.6975052154198
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01066532} λ = -2.01066532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.6975052154198))-π/2
    2×atan(14.8426562664787)-π/2
    2×1.50352460454422-π/2
    3.00704920908843-1.57079632675     		φ = 1.43625288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01066532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.202637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43625288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.291228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2949 KachelY 1158 -2.01066532 1.43625288 -115.202637 82.291228
    Oben rechts KachelX + 1 2950 KachelY 1158 -2.01028182 1.43625288 -115.180664 82.291228
    Unten links KachelX 2949 KachelY + 1 1159 -2.01066532 1.43620143 -115.202637 82.288280
    Unten rechts KachelX + 1 2950 KachelY + 1 1159 -2.01028182 1.43620143 -115.180664 82.288280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43625288-1.43620143) × R
    5.1450000000175e-05 × 6371000     		dl = 327.787950001115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43625288-1.43620143) × R
    5.1450000000175e-05 × 6371000     		dr = 327.787950001115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01066532--2.01028182) × cos(1.43625288) × R
    0.000383500000000314 × 0.134137897817304 × 6371000     		do = 327.736241772485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01066532--2.01028182) × cos(1.43620143) × R
    0.000383500000000314 × 0.134188882669402 × 6371000     		du = 327.86081196544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43625288)-sin(1.43620143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134137897817304-0.134188882669402)×R²
    abs(-2.01028182--2.01066532)×5.09848520972578e-05×R²
    0.000383500000000314×5.09848520972578e-05×6371000²
    0.000383500000000314×5.09848520972578e-05×40589641000000     		ar = 107448.407159311m²