Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29488 / 22674
↖ ↑ ↗
← N 48.392738°
W 18.017578°		 ← 405.58 m → N 48.392738°
W 18.012085°		 →
↑
405.58 m
↓
↑
405.58 m
↓
N 48.389090°
W 18.017578°		 ← 405.60 m →
164 499 m²		 N 48.389090°
W 18.012085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449958801269531 y=0.345985412597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449958801269531 × 216)
    floor (0.449958801269531 × 65536)
    floor (29488.5)     		tx = 29488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345985412597656 × 216)
    floor (0.345985412597656 × 65536)
    floor (22674.5)     		ty = 22674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29488 / 22674 ti = "16/29488/22674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29488/22674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29488 ÷ 216
    29488 ÷ 65536     		x = 0.449951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22674 ÷ 216
    22674 ÷ 65536     		y = 0.345977783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449951171875 × 2 - 1) × π
    -0.10009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31446606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345977783203125 × 2 - 1) × π
    0.30804443359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.967750129529694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31446606} λ = -0.31446606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.967750129529694))-π/2
    2×atan(2.63201609753658)-π/2
    2×1.20770446830155-π/2
    2.4154089366031-1.57079632675     		φ = 0.84461261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31446606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.017578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84461261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.392738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29488 KachelY 22674 -0.31446606 0.84461261 -18.017578 48.392738
    Oben rechts KachelX + 1 29489 KachelY 22674 -0.31437019 0.84461261 -18.012085 48.392738
    Unten links KachelX 29488 KachelY + 1 22675 -0.31446606 0.84454895 -18.017578 48.389090
    Unten rechts KachelX + 1 29489 KachelY + 1 22675 -0.31437019 0.84454895 -18.012085 48.389090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84461261-0.84454895) × R
    6.36600000000209e-05 × 6371000     		dl = 405.577860000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84461261-0.84454895) × R
    6.36600000000209e-05 × 6371000     		dr = 405.577860000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31446606--0.31437019) × cos(0.84461261) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.664020989205378 × 6371000     		do = 405.575899229938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31446606--0.31437019) × cos(0.84454895) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.664068587328828 × 6371000     		du = 405.604971581616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84461261)-sin(0.84454895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664020989205378-0.664068587328828)×R²
    abs(-0.31437019--0.31446606)×4.75981234507872e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75981234507872e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75981234507872e-05×40589641000000     		ar = 164498.50088358m²