Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29481 / 15034
↖ ↑ ↗
← N 69.298911°
W 18.056030°		 ← 215.93 m → N 69.298911°
W 18.050537°		 →
↑
215.91 m
↓
↑
215.91 m
↓
N 69.296969°
W 18.056030°		 ← 215.95 m →
46 625 m²		 N 69.296969°
W 18.050537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449851989746094 y=0.229408264160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449851989746094 × 216)
    floor (0.449851989746094 × 65536)
    floor (29481.5)     		tx = 29481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229408264160156 × 216)
    floor (0.229408264160156 × 65536)
    floor (15034.5)     		ty = 15034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29481 / 15034 ti = "16/29481/15034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29481/15034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29481 ÷ 216
    29481 ÷ 65536     		x = 0.449844360351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15034 ÷ 216
    15034 ÷ 65536     		y = 0.229400634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449844360351562 × 2 - 1) × π
    -0.100311279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31513718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229400634765625 × 2 - 1) × π
    0.54119873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.70022595572415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31513718} λ = -0.31513718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70022595572415))-π/2
    2×atan(5.47518440122349)-π/2
    2×1.39014524453232-π/2
    2.78029048906464-1.57079632675     		φ = 1.20949416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31513718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.056030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20949416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.298911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29481 KachelY 15034 -0.31513718 1.20949416 -18.056030 69.298911
    Oben rechts KachelX + 1 29482 KachelY 15034 -0.31504130 1.20949416 -18.050537 69.298911
    Unten links KachelX 29481 KachelY + 1 15035 -0.31513718 1.20946027 -18.056030 69.296969
    Unten rechts KachelX + 1 29482 KachelY + 1 15035 -0.31504130 1.20946027 -18.050537 69.296969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20949416-1.20946027) × R
    3.38900000000919e-05 × 6371000     		dl = 215.913190000586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20949416-1.20946027) × R
    3.38900000000919e-05 × 6371000     		dr = 215.913190000586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31513718--0.31504130) × cos(1.20949416) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.353492628033112 × 6371000     		do = 215.9314950031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31513718--0.31504130) × cos(1.20946027) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.353524329800561 × 6371000     		du = 215.950860074664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20949416)-sin(1.20946027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353492628033112-0.353524329800561)×R²
    abs(-0.31504130--0.31513718)×3.17017674489328e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.17017674489328e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.17017674489328e-05×40589641000000     		ar = 46624.5484991639m²