Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29480 / 23091
↖ ↑ ↗
← N 46.848921°
W 18.061523°		 ← 417.73 m → N 46.848921°
W 18.056030°		 →
↑
417.75 m
↓
↑
417.75 m
↓
N 46.845165°
W 18.061523°		 ← 417.76 m →
174 512 m²		 N 46.845165°
W 18.056030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449836730957031 y=0.352348327636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449836730957031 × 216)
    floor (0.449836730957031 × 65536)
    floor (29480.5)     		tx = 29480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352348327636719 × 216)
    floor (0.352348327636719 × 65536)
    floor (23091.5)     		ty = 23091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29480 / 23091 ti = "16/29480/23091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29480/23091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29480 ÷ 216
    29480 ÷ 65536     		x = 0.4498291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23091 ÷ 216
    23091 ÷ 65536     		y = 0.352340698242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4498291015625 × 2 - 1) × π
    -0.100341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31523305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352340698242188 × 2 - 1) × π
    0.295318603515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.927770755246567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31523305} λ = -0.31523305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.927770755246567))-π/2
    2×atan(2.5288654293165)-π/2
    2×1.19423212872525-π/2
    2.38846425745049-1.57079632675     		φ = 0.81766793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31523305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.061523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81766793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.848921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29480 KachelY 23091 -0.31523305 0.81766793 -18.061523 46.848921
    Oben rechts KachelX + 1 29481 KachelY 23091 -0.31513718 0.81766793 -18.056030 46.848921
    Unten links KachelX 29480 KachelY + 1 23092 -0.31523305 0.81760236 -18.061523 46.845165
    Unten rechts KachelX + 1 29481 KachelY + 1 23092 -0.31513718 0.81760236 -18.056030 46.845165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81766793-0.81760236) × R
    6.55700000000703e-05 × 6371000     		dl = 417.746470000448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81766793-0.81760236) × R
    6.55700000000703e-05 × 6371000     		dr = 417.746470000448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31523305--0.31513718) × cos(0.81766793) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.683924433850817 × 6371000     		do = 417.732679800244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31523305--0.31513718) × cos(0.81760236) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.683972269161269 × 6371000     		du = 417.761897022842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81766793)-sin(0.81760236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683924433850817-0.683972269161269)×R²
    abs(-0.31513718--0.31523305)×4.7835310451716e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7835310451716e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7835310451716e-05×40589641000000     		ar = 174512.455148401m²