Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2948 / 3450
↖ ↑ ↗
← N 27.293689°
W 50.449219°		 ← 4 342.47 m → N 27.293689°
W 50.405273°		 →
↑
4 343.24 m
↓
↑
4 343.24 m
↓
N 27.254629°
W 50.449219°		 ← 4 344 m →
18 863 693 m²		 N 27.254629°
W 50.405273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.35992431640625 y=0.42120361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.35992431640625 × 213)
    floor (0.35992431640625 × 8192)
    floor (2948.5)     		tx = 2948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42120361328125 × 213)
    floor (0.42120361328125 × 8192)
    floor (3450.5)     		ty = 3450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2948 / 3450 ti = "13/2948/3450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2948/3450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2948 ÷ 213
    2948 ÷ 8192     		x = 0.35986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3450 ÷ 213
    3450 ÷ 8192     		y = 0.421142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35986328125 × 2 - 1) × π
    -0.2802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.88050497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421142578125 × 2 - 1) × π
    0.15771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.4954757944729
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88050497} λ = -0.88050497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.4954757944729))-π/2
    2×atan(1.64127896476975)-π/2
    2×1.02358053438604-π/2
    2.04716106877208-1.57079632675     		φ = 0.47636474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88050497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.449219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47636474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.293689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2948 KachelY 3450 -0.88050497 0.47636474 -50.449219 27.293689
    Oben rechts KachelX + 1 2949 KachelY 3450 -0.87973798 0.47636474 -50.405273 27.293689
    Unten links KachelX 2948 KachelY + 1 3451 -0.88050497 0.47568302 -50.449219 27.254629
    Unten rechts KachelX + 1 2949 KachelY + 1 3451 -0.87973798 0.47568302 -50.405273 27.254629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47636474-0.47568302) × R
    0.000681719999999997 × 6371000     		dl = 4343.23811999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47636474-0.47568302) × R
    0.000681719999999997 × 6371000     		dr = 4343.23811999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88050497--0.87973798) × cos(0.47636474) × R
    0.000766990000000023 × 0.888667745584006 × 6371000     		do = 4342.4689758358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88050497--0.87973798) × cos(0.47568302) × R
    0.000766990000000023 × 0.888980142906488 × 6371000     		du = 4343.99550325592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47636474)-sin(0.47568302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888667745584006-0.888980142906488)×R²
    abs(-0.87973798--0.88050497)×0.000312397322482116×R²
    0.000766990000000023×0.000312397322482116×6371000²
    0.000766990000000023×0.000312397322482116×40589641000000     		ar = 18863692.5573712m²