Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29479 / 23016
↖ ↑ ↗
← N 47.129951°
W 18.067017°		 ← 415.59 m → N 47.129951°
W 18.061523°		 →
↑
415.58 m
↓
↑
415.58 m
↓
N 47.126214°
W 18.067017°		 ← 415.61 m →
172 715 m²		 N 47.126214°
W 18.061523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449821472167969 y=0.351203918457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449821472167969 × 216)
    floor (0.449821472167969 × 65536)
    floor (29479.5)     		tx = 29479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351203918457031 × 216)
    floor (0.351203918457031 × 65536)
    floor (23016.5)     		ty = 23016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29479 / 23016 ti = "16/29479/23016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29479/23016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29479 ÷ 216
    29479 ÷ 65536     		x = 0.449813842773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23016 ÷ 216
    23016 ÷ 65536     		y = 0.3511962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449813842773438 × 2 - 1) × π
    -0.100372314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31532893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3511962890625 × 2 - 1) × π
    0.297607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.934961290189575
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31532893} λ = -0.31532893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.934961290189575))-π/2
    2×atan(2.54711485749736)-π/2
    2×1.19668457189164-π/2
    2.39336914378328-1.57079632675     		φ = 0.82257282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31532893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.067017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82257282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.129951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29479 KachelY 23016 -0.31532893 0.82257282 -18.067017 47.129951
    Oben rechts KachelX + 1 29480 KachelY 23016 -0.31523305 0.82257282 -18.061523 47.129951
    Unten links KachelX 29479 KachelY + 1 23017 -0.31532893 0.82250759 -18.067017 47.126214
    Unten rechts KachelX + 1 29480 KachelY + 1 23017 -0.31523305 0.82250759 -18.061523 47.126214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82257282-0.82250759) × R
    6.52300000000272e-05 × 6371000     		dl = 415.580330000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82257282-0.82250759) × R
    6.52300000000272e-05 × 6371000     		dr = 415.580330000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31532893--0.31523305) × cos(0.82257282) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.680337844802052 × 6371000     		do = 415.585379397312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31532893--0.31523305) × cos(0.82250759) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.680385650332921 × 6371000     		du = 415.614581476596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82257282)-sin(0.82250759))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680337844802052-0.680385650332921)×R²
    abs(-0.31523305--0.31532893)×4.78055308691383e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78055308691383e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78055308691383e-05×40589641000000     		ar = 172715.177079437m²