Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29476 / 22669
↖ ↑ ↗
← N 48.410972°
W 18.083496°		 ← 405.47 m → N 48.410972°
W 18.078003°		 →
↑
405.45 m
↓
↑
405.45 m
↓
N 48.407326°
W 18.083496°		 ← 405.50 m →
164 405 m²		 N 48.407326°
W 18.078003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449775695800781 y=0.345909118652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449775695800781 × 216)
    floor (0.449775695800781 × 65536)
    floor (29476.5)     		tx = 29476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345909118652344 × 216)
    floor (0.345909118652344 × 65536)
    floor (22669.5)     		ty = 22669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29476 / 22669 ti = "16/29476/22669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29476/22669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29476 ÷ 216
    29476 ÷ 65536     		x = 0.44976806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22669 ÷ 216
    22669 ÷ 65536     		y = 0.345901489257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44976806640625 × 2 - 1) × π
    -0.1004638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31561655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345901489257812 × 2 - 1) × π
    0.308197021484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.968229498525894
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31561655} λ = -0.31561655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.968229498525894))-π/2
    2×atan(2.63327810691115)-π/2
    2×1.2078635953167-π/2
    2.41572719063341-1.57079632675     		φ = 0.84493086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31561655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.083496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84493086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.410972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29476 KachelY 22669 -0.31561655 0.84493086 -18.083496 48.410972
    Oben rechts KachelX + 1 29477 KachelY 22669 -0.31552067 0.84493086 -18.078003 48.410972
    Unten links KachelX 29476 KachelY + 1 22670 -0.31561655 0.84486722 -18.083496 48.407326
    Unten rechts KachelX + 1 29477 KachelY + 1 22670 -0.31552067 0.84486722 -18.078003 48.407326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84493086-0.84486722) × R
    6.36399999999204e-05 × 6371000     		dl = 405.450439999493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84493086-0.84486722) × R
    6.36399999999204e-05 × 6371000     		dr = 405.450439999493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31561655--0.31552067) × cos(0.84493086) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.663782995623116 × 6371000     		do = 405.472825275183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31561655--0.31552067) × cos(0.84486722) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.663830592239908 × 6371000     		du = 405.501899738993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84493086)-sin(0.84486722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663782995623116-0.663830592239908)×R²
    abs(-0.31552067--0.31561655)×4.75966167919895e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.75966167919895e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.75966167919895e-05×40589641000000     		ar = 164405.029598057m²