Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29475 / 22675
↖ ↑ ↗
← N 48.389090°
W 18.088989°		 ← 405.60 m → N 48.389090°
W 18.083496°		 →
↑
405.64 m
↓
↑
405.64 m
↓
N 48.385442°
W 18.088989°		 ← 405.63 m →
164 536 m²		 N 48.385442°
W 18.083496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449760437011719 y=0.346000671386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449760437011719 × 216)
    floor (0.449760437011719 × 65536)
    floor (29475.5)     		tx = 29475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346000671386719 × 216)
    floor (0.346000671386719 × 65536)
    floor (22675.5)     		ty = 22675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29475 / 22675 ti = "16/29475/22675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29475/22675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29475 ÷ 216
    29475 ÷ 65536     		x = 0.449752807617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22675 ÷ 216
    22675 ÷ 65536     		y = 0.345993041992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449752807617188 × 2 - 1) × π
    -0.100494384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31571242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345993041992188 × 2 - 1) × π
    0.308013916015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.967654255730453
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31571242} λ = -0.31571242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.967654255730453))-π/2
    2×atan(2.63176376824972)-π/2
    2×1.20767263605311-π/2
    2.41534527210622-1.57079632675     		φ = 0.84454895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31571242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.088989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84454895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.389090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29475 KachelY 22675 -0.31571242 0.84454895 -18.088989 48.389090
    Oben rechts KachelX + 1 29476 KachelY 22675 -0.31561655 0.84454895 -18.083496 48.389090
    Unten links KachelX 29475 KachelY + 1 22676 -0.31571242 0.84448528 -18.088989 48.385442
    Unten rechts KachelX + 1 29476 KachelY + 1 22676 -0.31561655 0.84448528 -18.083496 48.385442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84454895-0.84448528) × R
    6.36699999999601e-05 × 6371000     		dl = 405.641569999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84454895-0.84448528) × R
    6.36699999999601e-05 × 6371000     		dr = 405.641569999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31571242--0.31561655) × cos(0.84454895) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.664068587328828 × 6371000     		do = 405.604971581616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31571242--0.31561655) × cos(0.84448528) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.664116190237372 × 6371000     		du = 405.634046855971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84454895)-sin(0.84448528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664068587328828-0.664116190237372)×R²
    abs(-0.31561655--0.31571242)×4.76029085432206e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76029085432206e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76029085432206e-05×40589641000000     		ar = 164536.13459787m²