Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29475 / 19299
↖ ↑ ↗
← N 77.559267°
W 99.044495°		 ← 65.80 m → N 77.559267°
W 99.041748°		 →
↑
65.81 m
↓
↑
65.81 m
↓
N 77.558675°
W 99.044495°		 ← 65.80 m →
4 330 m²		 N 77.558675°
W 99.041748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.224880218505859 y=0.147243499755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.224880218505859 × 217)
    floor (0.224880218505859 × 131072)
    floor (29475.5)     		tx = 29475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147243499755859 × 217)
    floor (0.147243499755859 × 131072)
    floor (19299.5)     		ty = 19299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29475 / 19299 ti = "17/29475/19299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29475/19299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29475 ÷ 217
    29475 ÷ 131072     		x = 0.224876403808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19299 ÷ 217
    19299 ÷ 131072     		y = 0.147239685058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.224876403808594 × 2 - 1) × π
    -0.550247192382812 × 3.1415926535     		Λ = -1.72865254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147239685058594 × 2 - 1) × π
    0.705520629882812 × 3.1415926535     		Φ = 2.21645842773254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72865254} λ = -1.72865254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21645842773254))-π/2
    2×atan(9.17478011267565)-π/2
    2×1.46223044868533-π/2
    2.92446089737066-1.57079632675     		φ = 1.35366457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72865254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.044495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35366457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.559267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29475 KachelY 19299 -1.72865254 1.35366457 -99.044495 77.559267
    Oben rechts KachelX + 1 29476 KachelY 19299 -1.72860460 1.35366457 -99.041748 77.559267
    Unten links KachelX 29475 KachelY + 1 19300 -1.72865254 1.35365424 -99.044495 77.558675
    Unten rechts KachelX + 1 29476 KachelY + 1 19300 -1.72860460 1.35365424 -99.041748 77.558675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35366457-1.35365424) × R
    1.03300000000583e-05 × 6371000     		dl = 65.8124300003717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35366457-1.35365424) × R
    1.03300000000583e-05 × 6371000     		dr = 65.8124300003717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72865254--1.72860460) × cos(1.35366457) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215429618023713 × 6371000     		do = 65.7977505027666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72865254--1.72860460) × cos(1.35365424) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215439705457309 × 6371000     		du = 65.8008314646374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35366457)-sin(1.35365424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215429618023713-0.215439705457309)×R²
    abs(-1.72860460--1.72865254)×1.00874335962342e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00874335962342e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00874335962342e-05×40589641000000     		ar = 4330.41123193879m²