Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29473 / 19301
↖ ↑ ↗
← N 77.558084°
W 99.049988°		 ← 65.80 m → N 77.558084°
W 99.047241°		 →
↑
65.81 m
↓
↑
65.81 m
↓
N 77.557492°
W 99.049988°		 ← 65.81 m →
4 331 m²		 N 77.557492°
W 99.047241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.224864959716797 y=0.147258758544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.224864959716797 × 217)
    floor (0.224864959716797 × 131072)
    floor (29473.5)     		tx = 29473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147258758544922 × 217)
    floor (0.147258758544922 × 131072)
    floor (19301.5)     		ty = 19301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29473 / 19301 ti = "17/29473/19301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29473/19301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29473 ÷ 217
    29473 ÷ 131072     		x = 0.224861145019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19301 ÷ 217
    19301 ÷ 131072     		y = 0.147254943847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.224861145019531 × 2 - 1) × π
    -0.550277709960938 × 3.1415926535     		Λ = -1.72874841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147254943847656 × 2 - 1) × π
    0.705490112304688 × 3.1415926535     		Φ = 2.2163625539333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72874841} λ = -1.72874841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2163625539333))-π/2
    2×atan(9.17390053381401)-π/2
    2×1.46222012117395-π/2
    2.92444024234789-1.57079632675     		φ = 1.35364392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72874841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.049988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35364392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.558084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29473 KachelY 19301 -1.72874841 1.35364392 -99.049988 77.558084
    Oben rechts KachelX + 1 29474 KachelY 19301 -1.72870047 1.35364392 -99.047241 77.558084
    Unten links KachelX 29473 KachelY + 1 19302 -1.72874841 1.35363359 -99.049988 77.557492
    Unten rechts KachelX + 1 29474 KachelY + 1 19302 -1.72870047 1.35363359 -99.047241 77.557492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35364392-1.35363359) × R
    1.03299999998363e-05 × 6371000     		dl = 65.8124299989571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35364392-1.35363359) × R
    1.03299999998363e-05 × 6371000     		dr = 65.8124299989571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72874841--1.72870047) × cos(1.35364392) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215449783102767 × 6371000     		do = 65.8039094369588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72874841--1.72870047) × cos(1.35363359) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215459870490405 × 6371000     		du = 65.806990384793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35364392)-sin(1.35363359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215449783102767-0.215459870490405)×R²
    abs(-1.72870047--1.72874841)×1.00873876385243e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00873876385243e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00873876385243e-05×40589641000000     		ar = 4330.81656592298m²