Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29473 / 13475
↖ ↑ ↗
← N 72.122878°
W 18.099976°		 ← 187.52 m → N 72.122878°
W 18.094482°		 →
↑
187.50 m
↓
↑
187.50 m
↓
N 72.121192°
W 18.099976°		 ← 187.53 m →
35 161 m²		 N 72.121192°
W 18.094482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449729919433594 y=0.205619812011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449729919433594 × 216)
    floor (0.449729919433594 × 65536)
    floor (29473.5)     		tx = 29473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205619812011719 × 216)
    floor (0.205619812011719 × 65536)
    floor (13475.5)     		ty = 13475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29473 / 13475 ti = "16/29473/13475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29473/13475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29473 ÷ 216
    29473 ÷ 65536     		x = 0.449722290039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13475 ÷ 216
    13475 ÷ 65536     		y = 0.205612182617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449722290039062 × 2 - 1) × π
    -0.100555419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31590417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205612182617188 × 2 - 1) × π
    0.588775634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84969320873949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31590417} λ = -0.31590417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84969320873949))-π/2
    2×atan(6.35786868481915)-π/2
    2×1.41478900829498-π/2
    2.82957801658996-1.57079632675     		φ = 1.25878169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31590417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.099976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25878169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.122878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29473 KachelY 13475 -0.31590417 1.25878169 -18.099976 72.122878
    Oben rechts KachelX + 1 29474 KachelY 13475 -0.31580829 1.25878169 -18.094482 72.122878
    Unten links KachelX 29473 KachelY + 1 13476 -0.31590417 1.25875226 -18.099976 72.121192
    Unten rechts KachelX + 1 29474 KachelY + 1 13476 -0.31580829 1.25875226 -18.094482 72.121192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25878169-1.25875226) × R
    2.94299999998859e-05 × 6371000     		dl = 187.498529999273m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25878169-1.25875226) × R
    2.94299999998859e-05 × 6371000     		dr = 187.498529999273m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31590417--0.31580829) × cos(1.25878169) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.306976622316588 × 6371000     		do = 187.517124067474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31590417--0.31580829) × cos(1.25875226) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.307004631216581 × 6371000     		du = 187.534233345488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25878169)-sin(1.25875226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306976622316588-0.307004631216581)×R²
    abs(-0.31580829--0.31590417)×2.80088999933259e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.80088999933259e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.80088999933259e-05×40589641000000     		ar = 35160.7890971814m²