Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29472 / 13476
↖ ↑ ↗
← N 72.121192°
W 18.105469°		 ← 187.51 m → N 72.121192°
W 18.099976°		 →
↑
187.56 m
↓
↑
187.56 m
↓
N 72.119505°
W 18.105469°		 ← 187.53 m →
35 172 m²		 N 72.119505°
W 18.099976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449714660644531 y=0.205635070800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449714660644531 × 216)
    floor (0.449714660644531 × 65536)
    floor (29472.5)     		tx = 29472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205635070800781 × 216)
    floor (0.205635070800781 × 65536)
    floor (13476.5)     		ty = 13476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29472 / 13476 ti = "16/29472/13476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29472/13476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29472 ÷ 216
    29472 ÷ 65536     		x = 0.44970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13476 ÷ 216
    13476 ÷ 65536     		y = 0.20562744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44970703125 × 2 - 1) × π
    -0.1005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31600004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20562744140625 × 2 - 1) × π
    0.5887451171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.84959733494025
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31600004} λ = -0.31600004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84959733494025))-π/2
    2×atan(6.35725916101241)-π/2
    2×1.41477429211607-π/2
    2.82954858423213-1.57079632675     		φ = 1.25875226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31600004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.105469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25875226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.121192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29472 KachelY 13476 -0.31600004 1.25875226 -18.105469 72.121192
    Oben rechts KachelX + 1 29473 KachelY 13476 -0.31590417 1.25875226 -18.099976 72.121192
    Unten links KachelX 29472 KachelY + 1 13477 -0.31600004 1.25872282 -18.105469 72.119505
    Unten rechts KachelX + 1 29473 KachelY + 1 13477 -0.31590417 1.25872282 -18.099976 72.119505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25875226-1.25872282) × R
    2.94400000000472e-05 × 6371000     		dl = 187.562240000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25875226-1.25872282) × R
    2.94400000000472e-05 × 6371000     		dr = 187.562240000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31600004--0.31590417) × cos(1.25875226) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.307004631216581 × 6371000     		do = 187.514674080444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31600004--0.31590417) × cos(1.25872282) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.30703264936766 × 6371000     		du = 187.531787224461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25875226)-sin(1.25872282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307004631216581-0.30703264936766)×R²
    abs(-0.31590417--0.31600004)×2.80181510789457e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.80181510789457e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.80181510789457e-05×40589641000000     		ar = 35172.2771958779m²