Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2947 / 3457
↖ ↑ ↗
← N 27.019984°
W 50.493164°		 ← 4 353.12 m → N 27.019984°
W 50.449219°		 →
↑
4 353.88 m
↓
↑
4 353.88 m
↓
N 26.980828°
W 50.493164°		 ← 4 354.64 m →
18 956 268 m²		 N 26.980828°
W 50.449219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.35980224609375 y=0.42205810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.35980224609375 × 213)
    floor (0.35980224609375 × 8192)
    floor (2947.5)     		tx = 2947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42205810546875 × 213)
    floor (0.42205810546875 × 8192)
    floor (3457.5)     		ty = 3457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2947 / 3457 ti = "13/2947/3457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2947/3457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2947 ÷ 213
    2947 ÷ 8192     		x = 0.3597412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3457 ÷ 213
    3457 ÷ 8192     		y = 0.4219970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3597412109375 × 2 - 1) × π
    -0.280517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.88127196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4219970703125 × 2 - 1) × π
    0.156005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.490106861715454
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88127196} λ = -0.88127196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.490106861715454))-π/2
    2×atan(1.6324906613872)-π/2
    2×1.02119200577896-π/2
    2.04238401155793-1.57079632675     		φ = 0.47158768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88127196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.493164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47158768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.019984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2947 KachelY 3457 -0.88127196 0.47158768 -50.493164 27.019984
    Oben rechts KachelX + 1 2948 KachelY 3457 -0.88050497 0.47158768 -50.449219 27.019984
    Unten links KachelX 2947 KachelY + 1 3458 -0.88127196 0.47090429 -50.493164 26.980828
    Unten rechts KachelX + 1 2948 KachelY + 1 3458 -0.88050497 0.47090429 -50.449219 26.980828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47158768-0.47090429) × R
    0.000683390000000006 × 6371000     		dl = 4353.87769000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47158768-0.47090429) × R
    0.000683390000000006 × 6371000     		dr = 4353.87769000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88127196--0.88050497) × cos(0.47158768) × R
    0.000766989999999912 × 0.890848126299601 × 6371000     		do = 4353.12339157157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88127196--0.88050497) × cos(0.47090429) × R
    0.000766989999999912 × 0.891158383176458 × 6371000     		du = 4354.63945971851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47158768)-sin(0.47090429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890848126299601-0.891158383176458)×R²
    abs(-0.88050497--0.88127196)×0.000310256876857706×R²
    0.000766989999999912×0.000310256876857706×6371000²
    0.000766989999999912×0.000310256876857706×40589641000000     		ar = 18956267.9417707m²