Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29468 / 13532
↖ ↑ ↗
← N 72.026510°
W 18.127442°		 ← 188.49 m → N 72.026510°
W 18.121948°		 →
↑
188.45 m
↓
↑
188.45 m
↓
N 72.024815°
W 18.127442°		 ← 188.51 m →
35 524 m²		 N 72.024815°
W 18.121948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449653625488281 y=0.206489562988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449653625488281 × 216)
    floor (0.449653625488281 × 65536)
    floor (29468.5)     		tx = 29468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206489562988281 × 216)
    floor (0.206489562988281 × 65536)
    floor (13532.5)     		ty = 13532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29468 / 13532 ti = "16/29468/13532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29468/13532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29468 ÷ 216
    29468 ÷ 65536     		x = 0.44964599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13532 ÷ 216
    13532 ÷ 65536     		y = 0.20648193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44964599609375 × 2 - 1) × π
    -0.1007080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31638354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20648193359375 × 2 - 1) × π
    0.5870361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.8442284021828
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31638354} λ = -0.31638354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8442284021828))-π/2
    2×atan(6.32321892569121)-π/2
    2×1.41394803973835-π/2
    2.8278960794767-1.57079632675     		φ = 1.25709975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31638354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.127442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25709975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.026510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29468 KachelY 13532 -0.31638354 1.25709975 -18.127442 72.026510
    Oben rechts KachelX + 1 29469 KachelY 13532 -0.31628766 1.25709975 -18.121948 72.026510
    Unten links KachelX 29468 KachelY + 1 13533 -0.31638354 1.25707017 -18.127442 72.024815
    Unten rechts KachelX + 1 29469 KachelY + 1 13533 -0.31628766 1.25707017 -18.121948 72.024815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25709975-1.25707017) × R
    2.95800000000845e-05 × 6371000     		dl = 188.454180000539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25709975-1.25707017) × R
    2.95800000000845e-05 × 6371000     		dr = 188.454180000539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31638354--0.31628766) × cos(1.25709975) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.308576918339474 × 6371000     		do = 188.494667261493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31638354--0.31628766) × cos(1.25707017) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.30860505468252 × 6371000     		du = 188.511854388284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25709975)-sin(1.25707017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308576918339474-0.30860505468252)×R²
    abs(-0.31628766--0.31638354)×2.81363430456594e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.81363430456594e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.81363430456594e-05×40589641000000     		ar = 35524.2274490677m²