Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29466 / 20276
↖ ↑ ↗
← N 56.401744°
W 18.138428°		 ← 338.02 m → N 56.401744°
W 18.132934°		 →
↑
337.98 m
↓
↑
337.98 m
↓
N 56.398705°
W 18.138428°		 ← 338.05 m →
114 251 m²		 N 56.398705°
W 18.132934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449623107910156 y=0.309394836425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449623107910156 × 216)
    floor (0.449623107910156 × 65536)
    floor (29466.5)     		tx = 29466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309394836425781 × 216)
    floor (0.309394836425781 × 65536)
    floor (20276.5)     		ty = 20276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29466 / 20276 ti = "16/29466/20276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29466/20276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29466 ÷ 216
    29466 ÷ 65536     		x = 0.449615478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20276 ÷ 216
    20276 ÷ 65536     		y = 0.30938720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449615478515625 × 2 - 1) × π
    -0.10076904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31657529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30938720703125 × 2 - 1) × π
    0.3812255859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.19765550010748
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31657529} λ = -0.31657529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19765550010748))-π/2
    2×atan(3.31234202665091)-π/2
    2×1.27759623514892-π/2
    2.55519247029785-1.57079632675     		φ = 0.98439614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31657529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.138428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98439614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.401744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29466 KachelY 20276 -0.31657529 0.98439614 -18.138428 56.401744
    Oben rechts KachelX + 1 29467 KachelY 20276 -0.31647941 0.98439614 -18.132934 56.401744
    Unten links KachelX 29466 KachelY + 1 20277 -0.31657529 0.98434309 -18.138428 56.398705
    Unten rechts KachelX + 1 29467 KachelY + 1 20277 -0.31647941 0.98434309 -18.132934 56.398705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98439614-0.98434309) × R
    5.30499999999989e-05 × 6371000     		dl = 337.981549999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98439614-0.98434309) × R
    5.30499999999989e-05 × 6371000     		dr = 337.981549999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31657529--0.31647941) × cos(0.98439614) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.553366193302472 × 6371000     		do = 338.024558160755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31657529--0.31647941) × cos(0.98434309) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.553410379889276 × 6371000     		du = 338.0515496027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98439614)-sin(0.98434309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553366193302472-0.553410379889276)×R²
    abs(-0.31647941--0.31657529)×4.41865868034963e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.41865868034963e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.41865868034963e-05×40589641000000     		ar = 114250.625436548m²