Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29464 / 17912
↖ ↑ ↗
← N 62.935235°
W 18.149414°		 ← 277.91 m → N 62.935235°
W 18.143921°		 →
↑
277.90 m
↓
↑
277.90 m
↓
N 62.932735°
W 18.149414°		 ← 277.93 m →
77 234 m²		 N 62.932735°
W 18.143921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449592590332031 y=0.273323059082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449592590332031 × 216)
    floor (0.449592590332031 × 65536)
    floor (29464.5)     		tx = 29464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273323059082031 × 216)
    floor (0.273323059082031 × 65536)
    floor (17912.5)     		ty = 17912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29464 / 17912 ti = "16/29464/17912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29464/17912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29464 ÷ 216
    29464 ÷ 65536     		x = 0.4495849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17912 ÷ 216
    17912 ÷ 65536     		y = 0.2733154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4495849609375 × 2 - 1) × π
    -0.100830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31676703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2733154296875 × 2 - 1) × π
    0.453369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.42430116151111
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31676703} λ = -0.31676703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42430116151111))-π/2
    2×atan(4.15495318672508)-π/2
    2×1.33461169539219-π/2
    2.66922339078437-1.57079632675     		φ = 1.09842706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31676703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.149414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09842706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.935235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29464 KachelY 17912 -0.31676703 1.09842706 -18.149414 62.935235
    Oben rechts KachelX + 1 29465 KachelY 17912 -0.31667116 1.09842706 -18.143921 62.935235
    Unten links KachelX 29464 KachelY + 1 17913 -0.31676703 1.09838344 -18.149414 62.932735
    Unten rechts KachelX + 1 29465 KachelY + 1 17913 -0.31667116 1.09838344 -18.143921 62.932735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09842706-1.09838344) × R
    4.36199999997999e-05 × 6371000     		dl = 277.903019998725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09842706-1.09838344) × R
    4.36199999997999e-05 × 6371000     		dr = 277.903019998725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31676703--0.31667116) × cos(1.09842706) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.454997375422371 × 6371000     		do = 277.906832290077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31676703--0.31667116) × cos(1.09838344) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.455036218284489 × 6371000     		du = 277.93055703521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09842706)-sin(1.09838344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454997375422371-0.455036218284489)×R²
    abs(-0.31667116--0.31676703)×3.88428621179715e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.88428621179715e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.88428621179715e-05×40589641000000     		ar = 77234.4445732036m²