Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29463 / 22554
↖ ↑ ↗
← N 48.828566°
W 18.154907°		 ← 402.13 m → N 48.828566°
W 18.149414°		 →
↑
402.14 m
↓
↑
402.14 m
↓
N 48.824949°
W 18.154907°		 ← 402.16 m →
161 718 m²		 N 48.824949°
W 18.149414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449577331542969 y=0.344154357910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449577331542969 × 216)
    floor (0.449577331542969 × 65536)
    floor (29463.5)     		tx = 29463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344154357910156 × 216)
    floor (0.344154357910156 × 65536)
    floor (22554.5)     		ty = 22554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29463 / 22554 ti = "16/29463/22554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29463/22554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29463 ÷ 216
    29463 ÷ 65536     		x = 0.449569702148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22554 ÷ 216
    22554 ÷ 65536     		y = 0.344146728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449569702148438 × 2 - 1) × π
    -0.100860595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31686291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344146728515625 × 2 - 1) × π
    0.31170654296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.979254985438507
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31686291} λ = -0.31686291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.979254985438507))-π/2
    2×atan(2.66247192249594)-π/2
    2×1.21150778213288-π/2
    2.42301556426576-1.57079632675     		φ = 0.85221924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31686291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.154907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85221924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.828566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29463 KachelY 22554 -0.31686291 0.85221924 -18.154907 48.828566
    Oben rechts KachelX + 1 29464 KachelY 22554 -0.31676703 0.85221924 -18.149414 48.828566
    Unten links KachelX 29463 KachelY + 1 22555 -0.31686291 0.85215612 -18.154907 48.824949
    Unten rechts KachelX + 1 29464 KachelY + 1 22555 -0.31676703 0.85215612 -18.149414 48.824949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85221924-0.85215612) × R
    6.31200000000831e-05 × 6371000     		dl = 402.137520000529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85221924-0.85215612) × R
    6.31200000000831e-05 × 6371000     		dr = 402.137520000529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31686291--0.31676703) × cos(0.85221924) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.658314250510769 × 6371000     		do = 402.132234229563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31686291--0.31676703) × cos(0.85215612) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.658361762351056 × 6371000     		du = 402.16125690752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85221924)-sin(0.85215612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658314250510769-0.658361762351056)×R²
    abs(-0.31676703--0.31686291)×4.75118402867292e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.75118402867292e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.75118402867292e-05×40589641000000     		ar = 161718.294992877m²