Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29463 / 17906
↖ ↑ ↗
← N 62.950227°
W 18.154907°		 ← 277.79 m → N 62.950227°
W 18.149414°		 →
↑
277.78 m
↓
↑
277.78 m
↓
N 62.947729°
W 18.154907°		 ← 277.82 m →
77 168 m²		 N 62.947729°
W 18.149414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449577331542969 y=0.273231506347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449577331542969 × 216)
    floor (0.449577331542969 × 65536)
    floor (29463.5)     		tx = 29463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273231506347656 × 216)
    floor (0.273231506347656 × 65536)
    floor (17906.5)     		ty = 17906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29463 / 17906 ti = "16/29463/17906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29463/17906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29463 ÷ 216
    29463 ÷ 65536     		x = 0.449569702148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17906 ÷ 216
    17906 ÷ 65536     		y = 0.273223876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449569702148438 × 2 - 1) × π
    -0.100860595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31686291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273223876953125 × 2 - 1) × π
    0.45355224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.42487640430655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31686291} λ = -0.31686291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42487640430655))-π/2
    2×atan(4.15734398118885)-π/2
    2×1.3347425288582-π/2
    2.66948505771639-1.57079632675     		φ = 1.09868873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31686291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.154907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09868873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.950227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29463 KachelY 17906 -0.31686291 1.09868873 -18.154907 62.950227
    Oben rechts KachelX + 1 29464 KachelY 17906 -0.31676703 1.09868873 -18.149414 62.950227
    Unten links KachelX 29463 KachelY + 1 17907 -0.31686291 1.09864513 -18.154907 62.947729
    Unten rechts KachelX + 1 29464 KachelY + 1 17907 -0.31676703 1.09864513 -18.149414 62.947729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09868873-1.09864513) × R
    4.35999999999215e-05 × 6371000     		dl = 277.7755999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09868873-1.09864513) × R
    4.35999999999215e-05 × 6371000     		dr = 277.7755999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31686291--0.31676703) × cos(1.09868873) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.454764344602604 × 6371000     		do = 277.793472951709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31686291--0.31676703) × cos(1.09864513) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.454803174845135 × 6371000     		du = 277.817192462828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09868873)-sin(1.09864513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454764344602604-0.454803174845135)×R²
    abs(-0.31676703--0.31686291)×3.8830242531096e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.8830242531096e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.8830242531096e-05×40589641000000     		ar = 77167.5429880258m²