Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29462 / 15042
↖ ↑ ↗
← N 69.283371°
W 18.160400°		 ← 216.06 m → N 69.283371°
W 18.154907°		 →
↑
216.10 m
↓
↑
216.10 m
↓
N 69.281427°
W 18.160400°		 ← 216.08 m →
46 694 m²		 N 69.281427°
W 18.154907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449562072753906 y=0.229530334472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449562072753906 × 216)
    floor (0.449562072753906 × 65536)
    floor (29462.5)     		tx = 29462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229530334472656 × 216)
    floor (0.229530334472656 × 65536)
    floor (15042.5)     		ty = 15042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29462 / 15042 ti = "16/29462/15042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29462/15042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29462 ÷ 216
    29462 ÷ 65536     		x = 0.449554443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15042 ÷ 216
    15042 ÷ 65536     		y = 0.229522705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449554443359375 × 2 - 1) × π
    -0.10089111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31695878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229522705078125 × 2 - 1) × π
    0.54095458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69945896533023
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31695878} λ = -0.31695878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69945896533023))-π/2
    2×atan(5.47098659742619)-π/2
    2×1.39000963316696-π/2
    2.78001926633392-1.57079632675     		φ = 1.20922294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31695878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.160400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20922294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.283371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29462 KachelY 15042 -0.31695878 1.20922294 -18.160400 69.283371
    Oben rechts KachelX + 1 29463 KachelY 15042 -0.31686291 1.20922294 -18.154907 69.283371
    Unten links KachelX 29462 KachelY + 1 15043 -0.31695878 1.20918902 -18.160400 69.281427
    Unten rechts KachelX + 1 29463 KachelY + 1 15043 -0.31686291 1.20918902 -18.154907 69.281427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20922294-1.20918902) × R
    3.39200000001316e-05 × 6371000     		dl = 216.104320000839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20922294-1.20918902) × R
    3.39200000001316e-05 × 6371000     		dr = 216.104320000839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31695878--0.31686291) × cos(1.20922294) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.353746324335853 × 6371000     		do = 216.063928586788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31695878--0.31686291) × cos(1.20918902) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.353778050912694 × 6371000     		du = 216.083306791906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20922294)-sin(1.20918902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353746324335853-0.353778050912694)×R²
    abs(-0.31686291--0.31695878)×3.1726576840585e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.1726576840585e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.1726576840585e-05×40589641000000     		ar = 46694.442225609m²