Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29461 / 22933
↖ ↑ ↗
← N 47.439235°
W 18.165893°		 ← 413.12 m → N 47.439235°
W 18.160400°		 →
↑
413.16 m
↓
↑
413.16 m
↓
N 47.435519°
W 18.165893°		 ← 413.15 m →
170 690 m²		 N 47.435519°
W 18.160400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449546813964844 y=0.349937438964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449546813964844 × 216)
    floor (0.449546813964844 × 65536)
    floor (29461.5)     		tx = 29461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349937438964844 × 216)
    floor (0.349937438964844 × 65536)
    floor (22933.5)     		ty = 22933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29461 / 22933 ti = "16/29461/22933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29461/22933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29461 ÷ 216
    29461 ÷ 65536     		x = 0.449539184570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22933 ÷ 216
    22933 ÷ 65536     		y = 0.349929809570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449539184570312 × 2 - 1) × π
    -0.100921630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31705465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349929809570312 × 2 - 1) × π
    0.300140380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.942918815526505
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31705465} λ = -0.31705465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.942918815526505))-π/2
    2×atan(2.56746444731863)-π/2
    2×1.1993835835059-π/2
    2.39876716701179-1.57079632675     		φ = 0.82797084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31705465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.165893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82797084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.439235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29461 KachelY 22933 -0.31705465 0.82797084 -18.165893 47.439235
    Oben rechts KachelX + 1 29462 KachelY 22933 -0.31695878 0.82797084 -18.160400 47.439235
    Unten links KachelX 29461 KachelY + 1 22934 -0.31705465 0.82790599 -18.165893 47.435519
    Unten rechts KachelX + 1 29462 KachelY + 1 22934 -0.31695878 0.82790599 -18.160400 47.435519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82797084-0.82790599) × R
    6.48500000000052e-05 × 6371000     		dl = 413.159350000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82797084-0.82790599) × R
    6.48500000000052e-05 × 6371000     		dr = 413.159350000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31705465--0.31695878) × cos(0.82797084) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.676371750467971 × 6371000     		do = 413.119593159319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31705465--0.31695878) × cos(0.82790599) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.676419514989052 × 6371000     		du = 413.148767144635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82797084)-sin(0.82790599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676371750467971-0.676419514989052)×R²
    abs(-0.31695878--0.31705465)×4.77645210810174e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77645210810174e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77645210810174e-05×40589641000000     		ar = 170690.249394167m²