Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29460 / 23092
↖ ↑ ↗
← N 46.845165°
W 18.171387°		 ← 417.81 m → N 46.845165°
W 18.165893°		 →
↑
417.81 m
↓
↑
417.81 m
↓
N 46.841407°
W 18.171387°		 ← 417.83 m →
174 569 m²		 N 46.841407°
W 18.165893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449531555175781 y=0.352363586425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449531555175781 × 216)
    floor (0.449531555175781 × 65536)
    floor (29460.5)     		tx = 29460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352363586425781 × 216)
    floor (0.352363586425781 × 65536)
    floor (23092.5)     		ty = 23092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29460 / 23092 ti = "16/29460/23092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29460/23092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29460 ÷ 216
    29460 ÷ 65536     		x = 0.44952392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23092 ÷ 216
    23092 ÷ 65536     		y = 0.35235595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44952392578125 × 2 - 1) × π
    -0.1009521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31715053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35235595703125 × 2 - 1) × π
    0.2952880859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.927674881447327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31715053} λ = -0.31715053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.927674881447327))-π/2
    2×atan(2.52862298900205)-π/2
    2×1.19419934236175-π/2
    2.3883986847235-1.57079632675     		φ = 0.81760236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31715053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.171387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81760236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.845165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29460 KachelY 23092 -0.31715053 0.81760236 -18.171387 46.845165
    Oben rechts KachelX + 1 29461 KachelY 23092 -0.31705465 0.81760236 -18.165893 46.845165
    Unten links KachelX 29460 KachelY + 1 23093 -0.31715053 0.81753678 -18.171387 46.841407
    Unten rechts KachelX + 1 29461 KachelY + 1 23093 -0.31705465 0.81753678 -18.165893 46.841407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81760236-0.81753678) × R
    6.55800000000095e-05 × 6371000     		dl = 417.810180000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81760236-0.81753678) × R
    6.55800000000095e-05 × 6371000     		dr = 417.810180000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31715053--0.31705465) × cos(0.81760236) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.683972269161269 × 6371000     		do = 417.805472896087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31715053--0.31705465) × cos(0.81753678) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.684020108825664 × 6371000     		du = 417.834695825886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81760236)-sin(0.81753678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683972269161269-0.684020108825664)×R²
    abs(-0.31705465--0.31715053)×4.78396643958101e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78396643958101e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78396643958101e-05×40589641000000     		ar = 174569.484717315m²