Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29460 / 22662
↖ ↑ ↗
← N 48.436490°
W 18.171387°		 ← 405.27 m → N 48.436490°
W 18.165893°		 →
↑
405.26 m
↓
↑
405.26 m
↓
N 48.432845°
W 18.171387°		 ← 405.30 m →
164 245 m²		 N 48.432845°
W 18.165893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449531555175781 y=0.345802307128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449531555175781 × 216)
    floor (0.449531555175781 × 65536)
    floor (29460.5)     		tx = 29460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345802307128906 × 216)
    floor (0.345802307128906 × 65536)
    floor (22662.5)     		ty = 22662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29460 / 22662 ti = "16/29460/22662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29460/22662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29460 ÷ 216
    29460 ÷ 65536     		x = 0.44952392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22662 ÷ 216
    22662 ÷ 65536     		y = 0.345794677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44952392578125 × 2 - 1) × π
    -0.1009521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31715053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345794677734375 × 2 - 1) × π
    0.30841064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.968900615120575
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31715053} λ = -0.31715053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.968900615120575))-π/2
    2×atan(2.63504593669071)-π/2
    2×1.20808627730846-π/2
    2.41617255461691-1.57079632675     		φ = 0.84537623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31715053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.171387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84537623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.436490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29460 KachelY 22662 -0.31715053 0.84537623 -18.171387 48.436490
    Oben rechts KachelX + 1 29461 KachelY 22662 -0.31705465 0.84537623 -18.165893 48.436490
    Unten links KachelX 29460 KachelY + 1 22663 -0.31715053 0.84531262 -18.171387 48.432845
    Unten rechts KachelX + 1 29461 KachelY + 1 22663 -0.31705465 0.84531262 -18.165893 48.432845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84537623-0.84531262) × R
    6.36099999999917e-05 × 6371000     		dl = 405.259309999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84537623-0.84531262) × R
    6.36099999999917e-05 × 6371000     		dr = 405.259309999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31715053--0.31705465) × cos(0.84537623) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.663449826346744 × 6371000     		do = 405.26930832962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31715053--0.31705465) × cos(0.84531262) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.663497419327964 × 6371000     		du = 405.298380572636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84537623)-sin(0.84531262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663449826346744-0.663497419327964)×R²
    abs(-0.31705465--0.31715053)×4.75929812202569e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.75929812202569e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.75929812202569e-05×40589641000000     		ar = 164245.051211697m²