Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29460 / 22468
↖ ↑ ↗
← N 49.138597°
W 18.171387°		 ← 399.64 m → N 49.138597°
W 18.165893°		 →
↑
399.65 m
↓
↑
399.65 m
↓
N 49.135002°
W 18.171387°		 ← 399.67 m →
159 722 m²		 N 49.135002°
W 18.165893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449531555175781 y=0.342842102050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449531555175781 × 216)
    floor (0.449531555175781 × 65536)
    floor (29460.5)     		tx = 29460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342842102050781 × 216)
    floor (0.342842102050781 × 65536)
    floor (22468.5)     		ty = 22468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29460 / 22468 ti = "16/29460/22468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29460/22468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29460 ÷ 216
    29460 ÷ 65536     		x = 0.44952392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22468 ÷ 216
    22468 ÷ 65536     		y = 0.34283447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44952392578125 × 2 - 1) × π
    -0.1009521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31715053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34283447265625 × 2 - 1) × π
    0.3143310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.987500132173157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31715053} λ = -0.31715053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.987500132173157))-π/2
    2×atan(2.68451514409289)-π/2
    2×1.21421331307842-π/2
    2.42842662615684-1.57079632675     		φ = 0.85763030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31715053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.171387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85763030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.138597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29460 KachelY 22468 -0.31715053 0.85763030 -18.171387 49.138597
    Oben rechts KachelX + 1 29461 KachelY 22468 -0.31705465 0.85763030 -18.165893 49.138597
    Unten links KachelX 29460 KachelY + 1 22469 -0.31715053 0.85756757 -18.171387 49.135002
    Unten rechts KachelX + 1 29461 KachelY + 1 22469 -0.31705465 0.85756757 -18.165893 49.135002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85763030-0.85756757) × R
    6.27300000000108e-05 × 6371000     		dl = 399.652830000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85763030-0.85756757) × R
    6.27300000000108e-05 × 6371000     		dr = 399.652830000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31715053--0.31705465) × cos(0.85763030) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.65423149413128 × 6371000     		do = 399.638276452673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31715053--0.31705465) × cos(0.85756757) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.654278935188949 × 6371000     		du = 399.667255892963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85763030)-sin(0.85756757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65423149413128-0.654278935188949)×R²
    abs(-0.31705465--0.31715053)×4.7441057668518e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.7441057668518e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.7441057668518e-05×40589641000000     		ar = 159722.359070403m²