Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29460 / 15032
↖ ↑ ↗
← N 69.302794°
W 18.171387°		 ← 215.89 m → N 69.302794°
W 18.165893°		 →
↑
215.91 m
↓
↑
215.91 m
↓
N 69.300852°
W 18.171387°		 ← 215.91 m →
46 616 m²		 N 69.300852°
W 18.165893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449531555175781 y=0.229377746582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449531555175781 × 216)
    floor (0.449531555175781 × 65536)
    floor (29460.5)     		tx = 29460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229377746582031 × 216)
    floor (0.229377746582031 × 65536)
    floor (15032.5)     		ty = 15032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29460 / 15032 ti = "16/29460/15032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29460/15032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29460 ÷ 216
    29460 ÷ 65536     		x = 0.44952392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15032 ÷ 216
    15032 ÷ 65536     		y = 0.2293701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44952392578125 × 2 - 1) × π
    -0.1009521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31715053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2293701171875 × 2 - 1) × π
    0.541259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.70041770332263
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31715053} λ = -0.31715053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70041770332263))-π/2
    2×atan(5.47623435534353)-π/2
    2×1.39017913217408-π/2
    2.78035826434815-1.57079632675     		φ = 1.20956194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31715053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.171387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20956194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.302794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29460 KachelY 15032 -0.31715053 1.20956194 -18.171387 69.302794
    Oben rechts KachelX + 1 29461 KachelY 15032 -0.31705465 1.20956194 -18.165893 69.302794
    Unten links KachelX 29460 KachelY + 1 15033 -0.31715053 1.20952805 -18.171387 69.300852
    Unten rechts KachelX + 1 29461 KachelY + 1 15033 -0.31705465 1.20952805 -18.165893 69.300852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20956194-1.20952805) × R
    3.38899999998699e-05 × 6371000     		dl = 215.913189999171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20956194-1.20952805) × R
    3.38899999998699e-05 × 6371000     		dr = 215.913189999171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31715053--0.31705465) × cos(1.20956194) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.353429223280258 × 6371000     		do = 215.89276411598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31715053--0.31705465) × cos(1.20952805) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.353460925859666 × 6371000     		du = 215.912129683531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20956194)-sin(1.20952805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353429223280258-0.353460925859666)×R²
    abs(-0.31705465--0.31715053)×3.17025794075998e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.17025794075998e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.17025794075998e-05×40589641000000     		ar = 46616.186043063m²