Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2946 / 1667
↖ ↑ ↗
← N 80.636316°
W115.268555°		 ← 397.51 m → N 80.636316°
W115.246582°		 →
↑
397.61 m
↓
↑
397.61 m
↓
N 80.632740°
W115.268555°		 ← 397.66 m →
158 087 m²		 N 80.632740°
W115.246582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179840087890625 y=0.101776123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179840087890625 × 214)
    floor (0.179840087890625 × 16384)
    floor (2946.5)     		tx = 2946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101776123046875 × 214)
    floor (0.101776123046875 × 16384)
    floor (1667.5)     		ty = 1667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2946 / 1667 ti = "14/2946/1667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2946/1667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2946 ÷ 214
    2946 ÷ 16384     		x = 0.1798095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1667 ÷ 214
    1667 ÷ 16384     		y = 0.10174560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1798095703125 × 2 - 1) × π
    -0.640380859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.01181580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10174560546875 × 2 - 1) × π
    0.7965087890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.50230616016693
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01181580} λ = -2.01181580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50230616016693))-π/2
    2×atan(12.2106211634609)-π/2
    2×1.48908276829677-π/2
    2.97816553659353-1.57079632675     		φ = 1.40736921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01181580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.268555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40736921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.636316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2946 KachelY 1667 -2.01181580 1.40736921 -115.268555 80.636316
    Oben rechts KachelX + 1 2947 KachelY 1667 -2.01143231 1.40736921 -115.246582 80.636316
    Unten links KachelX 2946 KachelY + 1 1668 -2.01181580 1.40730680 -115.268555 80.632740
    Unten rechts KachelX + 1 2947 KachelY + 1 1668 -2.01143231 1.40730680 -115.246582 80.632740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40736921-1.40730680) × R
    6.24099999999572e-05 × 6371000     		dl = 397.614109999727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40736921-1.40730680) × R
    6.24099999999572e-05 × 6371000     		dr = 397.614109999727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01181580--2.01143231) × cos(1.40736921) × R
    0.000383489999999931 × 0.162700607588949 × 6371000     		do = 397.512530803234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01181580--2.01143231) × cos(1.40730680) × R
    0.000383489999999931 × 0.162762185689055 × 6371000     		du = 397.662979328153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40736921)-sin(1.40730680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162700607588949-0.162762185689055)×R²
    abs(-2.01143231--2.01181580)×6.15781001057636e-05×R²
    0.000383489999999931×6.15781001057636e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.15781001057636e-05×40589641000000     		ar = 158086.501429528m²