Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29459 / 15523
↖ ↑ ↗
← N 68.328291°
W 18.176880°		 ← 225.56 m → N 68.328291°
W 18.171387°		 →
↑
225.60 m
↓
↑
225.60 m
↓
N 68.326262°
W 18.176880°		 ← 225.58 m →
50 887 m²		 N 68.326262°
W 18.171387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449516296386719 y=0.236869812011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449516296386719 × 216)
    floor (0.449516296386719 × 65536)
    floor (29459.5)     		tx = 29459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236869812011719 × 216)
    floor (0.236869812011719 × 65536)
    floor (15523.5)     		ty = 15523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29459 / 15523 ti = "16/29459/15523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29459/15523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29459 ÷ 216
    29459 ÷ 65536     		x = 0.449508666992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15523 ÷ 216
    15523 ÷ 65536     		y = 0.236862182617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449508666992188 × 2 - 1) × π
    -0.100982666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31724640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.236862182617188 × 2 - 1) × π
    0.526275634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.65334366789574
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31724640} λ = -0.31724640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65334366789574))-π/2
    2×atan(5.22441937824724)-π/2
    2×1.38167498916565-π/2
    2.7633499783313-1.57079632675     		φ = 1.19255365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31724640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.176880°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19255365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.328291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29459 KachelY 15523 -0.31724640 1.19255365 -18.176880 68.328291
    Oben rechts KachelX + 1 29460 KachelY 15523 -0.31715053 1.19255365 -18.171387 68.328291
    Unten links KachelX 29459 KachelY + 1 15524 -0.31724640 1.19251824 -18.176880 68.326262
    Unten rechts KachelX + 1 29460 KachelY + 1 15524 -0.31715053 1.19251824 -18.171387 68.326262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19255365-1.19251824) × R
    3.5409999999958e-05 × 6371000     		dl = 225.597109999732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19255365-1.19251824) × R
    3.5409999999958e-05 × 6371000     		dr = 225.597109999732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31724640--0.31715053) × cos(1.19255365) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.369287933603754 × 6371000     		do = 225.55655345374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31724640--0.31715053) × cos(1.19251824) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.369320840417385 × 6371000     		du = 225.576652533055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19255365)-sin(1.19251824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369287933603754-0.369320840417385)×R²
    abs(-0.31715053--0.31724640)×3.29068136311617e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.29068136311617e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.29068136311617e-05×40589641000000     		ar = 50887.1737531536m²