Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29459 / 15522
↖ ↑ ↗
← N 68.330320°
W 18.176880°		 ← 225.54 m → N 68.330320°
W 18.171387°		 →
↑
225.60 m
↓
↑
225.60 m
↓
N 68.328291°
W 18.176880°		 ← 225.56 m →
50 883 m²		 N 68.328291°
W 18.171387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449516296386719 y=0.236854553222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449516296386719 × 216)
    floor (0.449516296386719 × 65536)
    floor (29459.5)     		tx = 29459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236854553222656 × 216)
    floor (0.236854553222656 × 65536)
    floor (15522.5)     		ty = 15522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29459 / 15522 ti = "16/29459/15522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29459/15522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29459 ÷ 216
    29459 ÷ 65536     		x = 0.449508666992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15522 ÷ 216
    15522 ÷ 65536     		y = 0.236846923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449508666992188 × 2 - 1) × π
    -0.100982666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31724640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.236846923828125 × 2 - 1) × π
    0.52630615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.65343954169498
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31724640} λ = -0.31724640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65343954169498))-π/2
    2×atan(5.22492028719349)-π/2
    2×1.38169269089559-π/2
    2.76338538179117-1.57079632675     		φ = 1.19258906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31724640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.176880°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19258906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.330320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29459 KachelY 15522 -0.31724640 1.19258906 -18.176880 68.330320
    Oben rechts KachelX + 1 29460 KachelY 15522 -0.31715053 1.19258906 -18.171387 68.330320
    Unten links KachelX 29459 KachelY + 1 15523 -0.31724640 1.19255365 -18.176880 68.328291
    Unten rechts KachelX + 1 29460 KachelY + 1 15523 -0.31715053 1.19255365 -18.171387 68.328291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19258906-1.19255365) × R
    3.5409999999958e-05 × 6371000     		dl = 225.597109999732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19258906-1.19255365) × R
    3.5409999999958e-05 × 6371000     		dr = 225.597109999732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31724640--0.31715053) × cos(1.19258906) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.369255026327084 × 6371000     		do = 225.536454091606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31724640--0.31715053) × cos(1.19255365) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.369287933603754 × 6371000     		du = 225.55655345374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19258906)-sin(1.19255365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369255026327084-0.369287933603754)×R²
    abs(-0.31715053--0.31724640)×3.29072766694916e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.29072766694916e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.29072766694916e-05×40589641000000     		ar = 50882.6394270741m²